Resolva as recorrências de 2^{a} ordem homogêneas a seguir:
x_{n+2}+9 x_{n}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a recorrência homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
x_{n+2} + 9\,x_{n} = 0.
Para isso, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo x_n = r^n. Substituindo na recorrência temos
r^{n+2} + 9\,r^n = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^n\bigl(r^2 + 9\bigr)=0.
Como queremos uma solução não trivial (não identicamente zero), impomos
r^2 + 9 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = \pm 3\,i.

Passo 3

As raízes r_1=3i e r_2=-3i são distintas, logo a solução geral da recorrência em termos de constantes arbitrárias A e B é
x_n = A\,(3i)^n + B\,(-3i)^n.

Passo 4

Se quisermos a forma real da solução, note que
(3i)^n = 3^n\,i^n = 3^n\bigl(\cos(\tfrac{n\pi}{2}) + i\sin(\tfrac{n\pi}{2})\bigr)
e o conjugado fornece (-3i)^n. Então, para constantes reais C e D, obtemos
x_n = 3^n\Bigl(C\cos\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr) + D\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\Bigr).

Resposta

x_n = A\,(3i)^n + B\,(-3i)^n
ou, em forma real,
x_n = 3^n\Bigl(C\cos\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr) + D\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\Bigr),
onde A,B (ou C,D) são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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