Resolva as recorrências a seguir:
x_{n+2}-5 x_{n+1}+6 x_{n}=1+3 \cdot 4^{n}.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da sequência definida pela recorrência linear não homogênea de ordem 2
x_{n+2} \;-\;5\,x_{n+1}\;+\;6\,x_{n} \;=\;1\;+\;3\cdot4^{n}.
O método envolve dois estágios: primeiro resolvemos a parte homogênea associada, depois encontramos uma solução particular para o termo não homogêneo.

Passo 2

Construímos a equação característica da parte homogênea
r^{2}-5r+6=0,
cuja fatoração é
(r-2)(r-3)=0.
Logo as raízes são r=2 e r=3, e a solução geral da parte homogênea é
x_{n}^{(h)} = A\cdot2^{n} + B\cdot3^{n},
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 3

Para a parte particular, como o termo não homogêneo é 1 + 3\cdot4^{n}, buscamos
x_{n}^{(p)} = C + D\,4^{n},
com C,D constantes. Substituindo na recorrência:
x_{n+2}^{(p)}-5x_{n+1}^{(p)}+6x_{n}^{(p)} = \bigl(C+16D\,4^{n}\bigr)-5\bigl(C+4D\,4^{n}\bigr) +6\bigl(C+D\,4^{n}\bigr).
Reagrupando termos constantes e em 4^{n} obtém-se
2C \;+\;2D\,4^{n} \;=\;1\;+\;3\cdot4^{n}.
Igualando coeficientes dá
2C=1\quad\Rightarrow\quad C=\tfrac12, \qquad 2D=3\quad\Rightarrow\quad D=\tfrac32.
Logo
x_{n}^{(p)} = \tfrac12 \;+\;\tfrac32\,4^{n}.

Passo 4

A solução geral da recorrência é a soma das partes homogênea e particular:
x_{n} = x_{n}^{(h)} + x_{n}^{(p)} = A\cdot2^{n} + B\cdot3^{n} + \tfrac12 + \tfrac32\,4^{n},
com A e B determinados por quaisquer condições iniciais fornecidas.

Resposta

x_{n} = A\,2^{n} + B\,3^{n} + \tfrac12 + \tfrac32\,4^{n}.

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