Resolva as recorrências a seguir:
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da sequência definida pela recorrência linear não homogênea de ordem 2
O método envolve dois estágios: primeiro resolvemos a parte homogênea associada, depois encontramos uma solução particular para o termo não homogêneo.
Passo 2
Construímos a equação característica da parte homogênea
cuja fatoração é
Logo as raízes são
e
, e a solução geral da parte homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 3
Para a parte particular, como o termo não homogêneo é
, buscamos
com
constantes. Substituindo na recorrência:
Reagrupando termos constantes e em
obtém-se
Igualando coeficientes dá
Logo
Passo 4
A solução geral da recorrência é a soma das partes homogênea e particular:
com
e
determinados por quaisquer condições iniciais fornecidas.