Resolva as recorrências a seguir:
x_{n+2}-5 x_{n+1}+6 x_{n}=2^{n}.

Passo 1

Temos a recorrência não homogênea
x_{n+2} - 5\,x_{n+1} + 6\,x_{n} = 2^{n}.
O método para resolver é decompor em duas partes:
  1. solução da parte homogênea,
  2. particular para o termo 2^n.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos
x_{n+2}^{(h)} - 5\,x_{n+1}^{(h)} + 6\,x_{n}^{(h)} = 0.
A equação característica é
r^2 - 5r + 6 = 0,
cuja fatora­ção dá (r-2)(r-3)=0. Logo
r_1 = 2,\quad r_2 = 3
e a solução geral homogênea é
x_{n}^{(h)} = A\cdot 2^n + B\cdot 3^n,
onde A e B são constantes a determinar por condições iniciais.

Passo 3

Para achar uma solução particular \,x_n^{(p)} de
x_{n+2} - 5\,x_{n+1} + 6\,x_{n} = 2^n,
notamos que 2 é raiz simples da característica, então tentamos
x_{n}^{(p)} = C\,n\,2^n.
Calculamos
x_{n+1}^{(p)} = C\,(n+1)\,2^{n+1},\qquad x_{n+2}^{(p)} = C\,(n+2)\,2^{n+2}.
Substituindo na recorrência:
\begin{aligned} x_{n+2}^{(p)} - 5\,x_{n+1}^{(p)} +6\,x_{n}^{(p)} &= C\,2^n\bigl[(n+2)\,4 -5(n+1)\,2 +6n\bigr]\\\ &= C\,2^n\bigl[4n+8 -10n -10 +6n\bigr] = C\,2^n\,(-2). \end{aligned}
Para igualar a 2^n precisamos de
C\,(-2) = 1 \quad\Longrightarrow\quad C = -\tfrac12.
Logo
x_{n}^{(p)} = -\tfrac12\,n\,2^n.

Passo 4

A solução geral da recorrência é a soma da parte homogênea com a particular:
x_n = x_{n}^{(h)} + x_{n}^{(p)} = A\,2^n + B\,3^n \;-\;\tfrac12\,n\,2^n.
Podemos agrupar os termos em 2^n:
x_n = 2^n\Bigl(A - \tfrac{n}{2}\Bigr) + B\,3^n.
Os parâmetros A e B ficam em função de duas condições iniciais que, se não fornecidas, deixam a resposta neste formato geral.

Resposta

\boxed{ x_n = A\,2^n + B\,3^n \;-\;\tfrac12\,n\,2^n, }
ou equivalentemente
\boxed{ x_n = 2^n\Bigl(A - \tfrac n2\Bigr) \;+\; B\,3^n, }
com A e B determinados por quaisquer condições iniciais que apareçam no problema.

Exercícios relacionados