Resolva as recorrências a seguir:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a recorrência não-homogênea de segunda ordem
O conteúdo envolvido é: (i) resolver a parte homogênea pela equação característica; (ii) usar o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular; (iii) somar as duas para obter a solução geral.
Passo 2
Parte homogênea. Considere
A equação característica é
raiz dupla
. Logo a solução geral da parte homogênea é
com
e
constantes arbitrárias.
Passo 3
Parte particular – termo constante. Para a parte
do lado direito, tentamos
(constante). Substituindo na recorrência homogênea obtemos
Passo 4
Parte particular – termo
. Como
é raiz dupla da característica, e o forçante é
(polinomial de grau 1 vezes
), usamos o ansatz
Calculamos
e montamos
Comparando coeficientes em
e termo constante:
Logo
Passo 5
Solução geral. Somando homogênea e particulares:
Agrupando:
onde
e
são constantes livres.