Resolva as recorrências a seguir:
x_{n+2}-6 x_{n+1}+9 x_{n}=1+n 3^{n}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a recorrência não-homogênea de segunda ordem
x_{n+2}-6x_{n+1}+9x_{n}=1+n\,3^{n}.
O conteúdo envolvido é: (i) resolver a parte homogênea pela equação característica; (ii) usar o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular; (iii) somar as duas para obter a solução geral.

Passo 2

Parte homogênea. Considere
x_{n+2}-6x_{n+1}+9x_{n}=0.
A equação característica é
r^{2}-6r+9=0\;\Longrightarrow\;(r-3)^{2}=0,
raiz dupla r=3. Logo a solução geral da parte homogênea é
x_{n}^{(h)}=(A+B\,n)\,3^{n},
com A e B constantes arbitrárias.

Passo 3

Parte particular – termo constante. Para a parte 1 do lado direito, tentamos x_{n}^{(p1)}=D (constante). Substituindo na recorrência homogênea obtemos
D-6D+9D=4D\stackrel{!}{=}1 \quad\Longrightarrow\quad D=\tfrac14.

Passo 4

Parte particular – termo n\,3^{n}. Como 3 é raiz dupla da característica, e o forçante é n3^{n} (polinomial de grau 1 vezes 3^{n}), usamos o ansatz
x_{n}^{(p2)}=3^{n}\bigl(a\,n^{3}+b\,n^{2}\bigr).
Calculamos
x_{n+1}^{(p2)}=3^{n+1}\bigl(a(n+1)^{3}+b(n+1)^{2}\bigr), \quad x_{n+2}^{(p2)}=3^{n+2}\bigl(a(n+2)^{3}+b(n+2)^{2}\bigr),
e montamos
x_{n+2}^{(p2)}-6x_{n+1}^{(p2)}+9x_{n}^{(p2)} =3^{n}\bigl(54a\,n+(54a+18b)\bigr) \stackrel{!}{=}n\,3^{n}.
Comparando coeficientes em n e termo constante:
54a=1\implies a=\tfrac1{54}, \qquad 54a+18b=0\implies b=-\tfrac1{18}.
Logo
x_{n}^{(p2)}=3^{n}\Bigl(\tfrac{1}{54}n^{3}-\tfrac{1}{18}n^{2}\Bigr).

Passo 5

Solução geral. Somando homogênea e particulares:
x_{n}=(A+B\,n)\,3^{n} +\tfrac14 +3^{n}\Bigl(\tfrac{1}{54}n^{3}-\tfrac{1}{18}n^{2}\Bigr).
Agrupando:
x_{n} =3^{n}\Bigl(A+B\,n+\tfrac{1}{54}n^{3}-\tfrac{1}{18}n^{2}\Bigr) +\tfrac14,
onde A e B são constantes livres.

Resposta

x_{n} =3^{n}\Bigl(A+B\,n+\tfrac{n^{3}}{54}-\tfrac{n^{2}}{18}\Bigr) +\tfrac14.

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