Resolva as recorrências a seguir:
x_{n+2}+x_{n}=1.

Passo 1

Temos a recorrência não homogênea de segunda ordem x_{n+2} + x_{n} = 1. Para resolvê-la, vamos achar primeiro a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular.

Passo 2

A parte homogênea é x_{n+2}^{(h)} + x_{n}^{(h)} = 0. A equação característica associada é
r^2 + 1 = 0.
Suas raízes são r = \pm i. Logo a solução geral homogênea é
x_{n}^{(h)} = A \cos\!\Bigl(\frac{n\pi}{2}\Bigr) + B \sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{2}\Bigr),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Para a solução particular, notamos que o termo não homogêneo é constante. Portanto, procuramos x_{n}^{(p)} = C constante. Substituindo em
C + C = 1
temos 2C = 1 e então
C = \tfrac12.

Passo 4

A solução geral da recorrência é a soma da parte homogênea com a particular. Assim
x_{n} = A \cos\!\Bigl(\frac{n\pi}{2}\Bigr) + B \sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{2}\Bigr) + \tfrac12.

Resposta

x_{n} = A \cos\!\Bigl(\frac{n\pi}{2}\Bigr) + B \sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{2}\Bigr) + \tfrac12.

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