Resolva as recorrências a seguir:
x_{n+2}+4 x_{n+1}+3 x_{n}=0 ; x_{1}=1 e x_{2}=5.

Passo 1

O enunciado apresenta a recorrência linear homogênea de segunda ordem
x_{n+2} + 4\,x_{n+1} + 3\,x_n = 0
com condições iniciais x_{1}=1 e x_{2}=5.
O conteúdo é resolução de recorrências com coeficientes constantes. Para resolver, vamos:
  1. montar a equação característica,
  2. encontrar suas raízes,
  3. escrever a solução geral,
  4. usar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Montamos a equação característica associada:
r^2 + 4r + 3 = 0.
Resolvendo, fatoramos e achamos as raízes
r^2 + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0 \quad\Longrightarrow\quad r_1 = -1,\;r_2 = -3.
Como as raízes são distintas, a solução geral é
x_n = A(-1)^n + B(-3)^n,
com A e B constantes a determinar.

Passo 3

Aplicamos as condições iniciais para achar [A) e B.
Para n=1:
x_1 = A(-1)^1 + B(-3)^1 \;\Longrightarrow\; -A - 3B = 1.
Para n=2:
x_2 = A(-1)^2 + B(-3)^2 \;\Longrightarrow\; A + 9B = 5.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} -A - 3B = 1,\\\ A + 9B = 5, \end{cases}
subtraindo a primeira da segunda, vem 6B=6\] então \(B=1, e daí A=-4.
Logo, a solução particular é
x_n = -4(-1)^n + (-3)^n.

Resposta

x_n = -4(-1)^n + (-3)^n

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