Resolva as recorrências a seguir:
x_{n+2}+x_{n+1}-6 x_{n}=6-8 n ; x_{1}=1 e x_{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede a solução da recorrência de segunda ordem não–homogênea
x_{n+2} + x_{n+1} - 6\,x_{n} = 6 - 8n,
com condições iniciais x_{1}=1 e x_{2}=4.
Conteúdo: recorrência linear com coeficientes constantes e termo não–homogêneo.

Passo 2

Primeiro resolvemos a parte homogênea
x_{n+2} + x_{n+1} - 6\,x_{n} = 0.
A equação característica é
\lambda^2 + \lambda - 6 = 0
cuja solução é
\lambda = 2 \quad\text{ou}\quad \lambda = -3.
Logo, a solução geral da homogênea é
x_{n}^{(h)} = \alpha\,2^n + \beta\,(-3)^n.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular da forma polinomial de grau 1, pois o termo não–homogêneo é 6 - 8n. Então
x_{n}^{(p)} = C\,n + D.
Substituindo na recorrência:
x_{n+2}^{(p)} + x_{n+1}^{(p)} - 6\,x_{n}^{(p)} = \bigl[C(n+2)+D\bigr] + \bigl[C(n+1)+D\bigr] - 6\bigl[Cn+D\bigr].
Isso dá
-4C\,n + (3C-4D) \;\stackrel{!}{=}\;-8n + 6.
Igualando coeficientes:
-4C = -8\quad\Rightarrow\quad C=2, \qquad 3C - 4D = 6\quad\Rightarrow\quad D=0.
Logo
x_{n}^{(p)} = 2n.

Passo 4

A solução geral é
x_{n} = x_{n}^{(h)} + x_{n}^{(p)} = \alpha\,2^n + \beta\,(-3)^n + 2n.
Usamos x_{1}=1\) e \(x_{2}=4\): \[\begin{cases} \alpha\,2^1 + \beta\,(-3)^1 + 2\cdot1 = 1,\\\ \alpha\,2^2 + \beta\,(-3)^2 + 2\cdot2 = 4. \end{cases}
Isto é
\begin{cases} 2\alpha -3\beta = -1,\\\\ 4\alpha +9\beta = 0. \end{cases}
Resolvendo,
\beta = \tfrac{2}{15}\] e \(\alpha = -\tfrac{3}{10}.

Resposta

\boxed{ x_{n} = -\tfrac{3}{10}\,2^n \;+\;\tfrac{2}{15}\,(-3)^n \;+\;2n. }

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