Resolva a relação de recorrência
para
com as condições iniciais
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa relação de recorrência juntos! O enunciado nos dá uma sequência definida por $ a_{n} = 2 a_{n-1} + a_{n-2} - 2 a_{n-3} $ para $ n > 2 $ e nos dá os três primeiros termos: $ a_{0} = 3 $, $ a_{1} = 6 $ e $ a_{2} = 0 $. A matéria que vamos usar aqui é relações de recorrência lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender como transformar essa recorrência em uma equação característica e encontrar suas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a relação de recorrência em uma equação característica. Isso ajuda a encontrar uma fórmula geral para $ a_n $. Para fazer isso, substituímos $ a_n $ por $ r^n $ na recorrência:
Dividindo todos os termos por $ r^{n-3} $ (supondo que $ r \neq 0 $), a equação fica:
Rearranjando para igualar a zero:
Essa é a nossa equação característica.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação $ r^{3} - 2 r^{2} - r + 2 = 0 $. Para achar as raízes, vamos tentar valores possíveis que sejam fatores do termo constante (2), ou seja, $ \pm1, \pm2 $.
Testando $ r = 1 $:
Funcionou! Então, $ r = 1 $ é uma raiz. Agora, podemos fatorar a equação usando $ (r - 1) $:
Agora, resolvemos $ r^{2} - r - 2 = 0 $:
Então, as outras raízes são $ r = 2 $ e $ r = -1 $.
Passo 4
Com as raízes $ r = 1 $, $ r = 2 $ e $ r = -1 $, podemos escrever a solução geral da recorrência:
Simplificando:
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $.
Passo 5
Vamos substituir $ n = 0 $, $ n = 1 $ e $ n = 2 $ na solução geral:
- Para $ n = 0 $:
- Para $ n = 1 $:
- Para $ n = 2 $:
Agora, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema.
Passo 6
Primeiro, subtraímos a primeira equação da segunda:
Depois, subtraímos a primeira equação da terceira:
Agora, substituímos $ B = -1 $ na equação (1):
Por fim, substituímos $ B = -1 $ e $ C = -2 $ na primeira equação:
Resposta
A solução geral da recorrência é: