Resolva a relação de recorrência an=2 an-1+an-2-2 an-3 para n>2 com as condições iniciais a0=3, a1=6, a2=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa relação de recorrência juntos! O enunciado nos dá uma sequência definida por $ a_{n} = 2 a_{n-1} + a_{n-2} - 2 a_{n-3} $ para $ n > 2 $ e nos dá os três primeiros termos: $ a_{0} = 3 $, $ a_{1} = 6 $ e $ a_{2} = 0 $. A matéria que vamos usar aqui é relações de recorrência lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender como transformar essa recorrência em uma equação característica e encontrar suas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a relação de recorrência em uma equação característica. Isso ajuda a encontrar uma fórmula geral para $ a_n $. Para fazer isso, substituímos $ a_n $ por $ r^n $ na recorrência:
an
Dividindo todos os termos por $ r^{n-3} $ (supondo que $ r \neq 0 $), a equação fica:
an
Rearranjando para igualar a zero:
r^n
Essa é a nossa equação característica.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação $ r^{3} - 2 r^{2} - r + 2 = 0 $. Para achar as raízes, vamos tentar valores possíveis que sejam fatores do termo constante (2), ou seja, $ \pm1, \pm2 $.
Testando $ r = 1 $:
r^3 - 2 r^2 - r + 2 = 0
Funcionou! Então, $ r = 1 $ é uma raiz. Agora, podemos fatorar a equação usando $ (r - 1) $:
pm1, pm2
Agora, resolvemos $ r^{2} - r - 2 = 0 $:
r = 1
Então, as outras raízes são $ r = 2 $ e $ r = -1 $.

Passo 4

Com as raízes $ r = 1 $, $ r = 2 $ e $ r = -1 $, podemos escrever a solução geral da recorrência:
r = 1
Simplificando:
r = 2
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $.

Passo 5

Vamos substituir $ n = 0 $, $ n = 1 $ e $ n = 2 $ na solução geral:
  1. Para $ n = 0 $:
n = 0
  1. Para $ n = 1 $:
n = 1
  1. Para $ n = 2 $:
n = 2
Agora, temos o sistema de equações:
n = 0
Vamos resolver esse sistema.

Passo 6

Primeiro, subtraímos a primeira equação da segunda:
(A + 2B - C) - (A + B + C) = 6 - 3 Rightarrow B - 2C = 3 (1)
Depois, subtraímos a primeira equação da terceira:
(A + 4B + C) - (A + B + C) = 0 - 3 Rightarrow 3B = -3 Rightarrow B = -1
Agora, substituímos $ B = -1 $ na equação (1):
B = -1
Por fim, substituímos $ B = -1 $ e $ C = -2 $ na primeira equação:
-1 - 2C = 3 Rightarrow -2C = 4 Rightarrow C = -2

Resposta

A solução geral da recorrência é:
an = 6 - 2^n + 2 cdot (-1)^n

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