Um determinado sistema eletrônico contém 10 componentes. Suponha que cada componente falhe individualmente com probabilidade de 0,2 e que os componentes falham independentemente um do outro. Sabendo que pelo menos um dos componentes falharam, qual é a probabilidade de que pelo menos dois deles falharam?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: temos um sistema eletrônico com 10 componentes, e cada um deles pode falhar com uma probabilidade de 0,2. As falhas são independentes, ou seja, a falha de um componente não afeta a dos outros. A pergunta é: sabendo que pelo menos um componente falhou, qual é a probabilidade de que pelo menos dois deles tenham falhado?
Aqui, vamos usar conceitos de probabilidade, mais especificamente a distribuição binomial, que é útil para calcular a probabilidade de um certo número de sucessos (neste caso, falhas) em um número fixo de tentativas independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que estamos lidando com uma distribuição binomial onde:
  • Número de tentativas (n) = 10 componentes
  • Probabilidade de sucesso em cada tentativa § = 0,2 (probabilidade de falha)
A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
onde $ C(n, k) $ é a combinação de n elementos tomados k a k.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de pelo menos dois componentes falharem, dado que pelo menos um falhou. Em termos matemáticos, isso é representado como:
P(X >= 2 mid X >= 1)
Para resolver isso, vamos usar a fórmula da probabilidade condicional:
P(A mid B) = P(A cap B)P(B)
Aqui, $ A $ é o evento “pelo menos dois falharam” e $ B $ é o evento “pelo menos um falhou”. Como se pelo menos dois falharam, automaticamente pelo menos um também falhou, então $ P(A \cap B) = P(A) $.
Então, a probabilidade que queremos é:
A

Passo 4

Vamos calcular $ P(X \geq 2) $. É mais fácil calcular o complementar, ou seja, 1 menos a probabilidade de que nenhum ou apenas um componente falhe:
P(X >= 2)
Calculando $ P(X = 0) $:
P(X >= 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)
Calculando $ P(X = 1) $:
P(X = 0)
Então,
P(X = 0) = C(10, 0) times 0,2^0 times 0,8^10 = 1 times 1 times 0,1073741824 approx 0,1074

Passo 5

Agora, vamos calcular $ P(X \geq 1) $, que é a probabilidade de pelo menos um componente falhar. Isso também pode ser calculado usando o complemento:
P(X >= 1)

Passo 6

Finalmente, aplicamos esses valores na fórmula da probabilidade condicional:
P(X >= 2 mid X >= 1) = 0,62420,8926 approx 0,7

Resposta

A probabilidade de que pelo menos dois componentes tenham falhado, dado que pelo menos um falhou, é aproximadamente 0,70.

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