Um determinado sistema eletrônico contém 10 componentes. Suponha que cada componente falhe individualmente com probabilidade de 0,2 e que os componentes falham independentemente um do outro. Sabendo que pelo menos um dos componentes falharam, qual é a probabilidade de que pelo menos dois deles falharam?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema: temos um sistema eletrônico com 10 componentes, e cada um deles pode falhar com uma probabilidade de 0,2. As falhas são independentes, ou seja, a falha de um componente não afeta a dos outros. A pergunta é: sabendo que pelo menos um componente falhou, qual é a probabilidade de que pelo menos dois deles tenham falhado?
Aqui, vamos usar conceitos de probabilidade, mais especificamente a distribuição binomial, que é útil para calcular a probabilidade de um certo número de sucessos (neste caso, falhas) em um número fixo de tentativas independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que estamos lidando com uma distribuição binomial onde:
- Número de tentativas (n) = 10 componentes
- Probabilidade de sucesso em cada tentativa § = 0,2 (probabilidade de falha)
A fórmula da probabilidade binomial é:
onde $ C(n, k) $ é a combinação de n elementos tomados k a k.
Passo 3
Queremos encontrar a probabilidade de pelo menos dois componentes falharem, dado que pelo menos um falhou. Em termos matemáticos, isso é representado como:
Para resolver isso, vamos usar a fórmula da probabilidade condicional:
Aqui, $ A $ é o evento “pelo menos dois falharam” e $ B $ é o evento “pelo menos um falhou”. Como se pelo menos dois falharam, automaticamente pelo menos um também falhou, então $ P(A \cap B) = P(A) $.
Então, a probabilidade que queremos é:
Passo 4
Vamos calcular $ P(X \geq 2) $. É mais fácil calcular o complementar, ou seja, 1 menos a probabilidade de que nenhum ou apenas um componente falhe:
Calculando $ P(X = 0) $:
Calculando $ P(X = 1) $:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular $ P(X \geq 1) $, que é a probabilidade de pelo menos um componente falhar. Isso também pode ser calculado usando o complemento:
Passo 6
Finalmente, aplicamos esses valores na fórmula da probabilidade condicional:
Resposta
A probabilidade de que pelo menos dois componentes tenham falhado, dado que pelo menos um falhou, é aproximadamente 0,70.