Resolva a seguinte inequação nos reais positivos:
\log _{\frac{2}{3}} \frac{x}{x+1}+\log _{\frac{1}{2}} \frac{x+1}{3 x} \geq 2

Passo 1

O problema pede para resolver em \mathbb{R}^+ a inequação
\log_{\tfrac{2}{3}}\!\frac{x}{x+1} \;+\;\log_{\tfrac{1}{2}}\!\frac{x+1}{3x}\;\ge2.
Aqui vamos usar propriedades de logaritmos (mudança de base e logaritmo de produto) e reduzir tudo a uma inequação linear em variáveis auxiliares.

Passo 2

Primeiro observamos o domínio: como x>0, temos \frac{x}{x+1}>0 e \frac{x+1}{3x}>0, então ambos os logaritmos estão bem definidos em \mathbb{R}^+.

Passo 3

Fazendo mudança de base para o logaritmo natural,
\log_{\tfrac{2}{3}}\!\frac{x}{x+1} =\frac{\ln\!\bigl(\tfrac{x}{x+1}\bigr)}{\ln\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)} ,\quad \log_{\tfrac{1}{2}}\!\frac{x+1}{3x} =\frac{\ln\!\bigl(\tfrac{x+1}{3x}\bigr)}{\ln\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)}.
Como \ln\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)=-\ln\tfrac{3}{2}<0 e \ln\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=-\ln2<0, cada termo fica com sinal invertido:
\log_{\tfrac{2}{3}}\!\frac{x}{x+1} =-\frac{\ln\!\bigl(\tfrac{x}{x+1}\bigr)}{\ln\tfrac{3}{2}} ,\quad \log_{\tfrac{1}{2}}\!\frac{x+1}{3x} =-\frac{\ln\!\bigl(\tfrac{x+1}{3x}\bigr)}{\ln2}.

Passo 4

Definimos
A=\frac{x}{x+1},\quad B=\frac{x+1}{3x}.
Note que
A\cdot B =\frac{x}{x+1}\cdot\frac{x+1}{3x} =\frac13 \quad\Longrightarrow\quad \ln A+\ln B=-\ln3.
Seja
u=-\ln A\ge0, \quad v=-\ln B\ge0,
então u+v=\ln3. A soma dos logaritmos fica
\log_{\tfrac{2}{3}}A+\log_{\tfrac{1}{2}}B =\frac{u}{\ln\tfrac{3}{2}}+\frac{v}{\ln2}.

Passo 5

Como v=\ln3-u, definimos a função
f(u) =\frac{u}{\ln\tfrac{3}{2}} +\frac{\ln3-u}{\ln2}.
Calculamos onde f(u)=2:
\frac{u}{\ln\tfrac{3}{2}} +\frac{\ln3-u}{\ln2} =2 \;\Longrightarrow\; u=\ln\tfrac{3}{2}.
Isso implica v=\ln3-\ln\tfrac{3}{2}=\ln2. Voltando à definição de u:
u=-\ln A =\ln\frac1A =\ln\frac{x+1}{x} =\ln\tfrac{3}{2} \;\Longrightarrow\; \frac{x+1}{x}=\frac32 \;\Longrightarrow\; x=2.

Passo 6

A função f(u) é linear crescente em u, logo f(u)\ge2 exatamente quando u\ge\ln\tfrac{3}{2}. Isso equivale a
-\ln\!\tfrac{x}{x+1}\ge\ln\tfrac{3}{2} \;\Longleftrightarrow\; \ln\!\tfrac{x}{x+1}\le-\ln\tfrac{3}{2} \;\Longleftrightarrow\; \frac{x}{x+1}\le\frac23 \;\Longleftrightarrow\; x\le2.
Combinando com x>0, a solução é
0<x\le2.

Resposta

\boxed{0<x\le2.}

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