Resolva a seguinte inequação nos reais positivos:
Passo 1
O problema pede para resolver em
a inequação
Aqui vamos usar propriedades de logaritmos (mudança de base e logaritmo de produto) e reduzir tudo a uma inequação linear em variáveis auxiliares.
Passo 2
Primeiro observamos o domínio: como
, temos
e
, então ambos os logaritmos estão bem definidos em
.
Passo 3
Fazendo mudança de base para o logaritmo natural,
Como
e
, cada termo fica com sinal invertido:
Passo 4
Definimos
Note que
Seja
então
. A soma dos logaritmos fica
Passo 5
Como
, definimos a função
Calculamos onde
:
Isso implica
. Voltando à definição de
:
Passo 6
A função
é linear crescente em
, logo
exatamente quando
. Isso equivale a
Combinando com
, a solução é