Sendo \mathrm{n}=2010^{2010} e \log \mathbf{n} é igual ao número \mathbf{m} tal que 10^{\mathrm{m}}=\mathrm{n}, então
a) \mathrm{n}!<\mathrm{n}^{\log \mathrm{n}}<(\log \mathrm{n})^{\mathrm{n}}
b) \mathrm{n}^{\log \mathrm{n}}<\mathrm{n} ! <(\log \mathrm{n})^{\mathrm{n}}
c) (\log n)^{n}<n^{\log n}<n !
d) (\log n)^{n}<n!<n^{\log n}

Passo 1

O enunciado define \displaystyle n = 2010^{2010}
e chama de \displaystyle \log n (base 10) o número m tal que 10^m = n.
Precisamos comparar, para esse n enorme, as três quantidades
n!,\quad n^{\log n},\quad (\log n)^{\,n}
para decidir a ordem crescente entre elas.

Passo 2

É muito mais fácil trabalhar em escala logarítmica (base 10). Vamos denotar \displaystyle L = \log_{10}n.
Pelo enunciado, n = 10^L.
Calculamos então:
(i) \displaystyle \log_{10}\bigl(n^{\log n}\bigr) = (\log n)\,\log_{10}n = L\cdot L = L^2.
(ii) \displaystyle \log_{10}\bigl((\log n)^n\bigr) = n\,\log_{10}(\log n) = 10^L\;\log_{10}L.
(iii) Usando a aproximação de Stirling em log:
\log_{10}(n!) \approx n\,\log_{10}\!\bigl(n/e\bigr) =10^L\bigl(L - \log_{10}e\bigr).

Passo 3

Comparemos primeiro as ordens de grandeza de \log_{10}(n^{\log n}) e \log_{10}\bigl((\log n)^n\bigr):
L^2 \quad\text{versus}\quad 10^L\;\log_{10}L.
Como 10^L cresce muito mais rápido que qualquer potência polinomial de L, para nosso L\sim2010\log_{10}2010 temos
L^2 \ll 10^L\;\log_{10}L \;\Longrightarrow\; \log_{10}(n^{\log n}) \;<\;\log_{10}\bigl((\log n)^n\bigr),
isto é
n^{\log n} \;<\;(\log n)^n.

Passo 4

Agora comparemos \log_{10}\bigl((\log n)^n\bigr) com \log_{10}(n!):
10^L\,\log_{10}L \quad\text{versus}\quad 10^L\bigl(L - \log_{10}e\bigr).
Para nosso L\gg1 claramente L - \log_{10}e é muito maior que \log_{10}L. Logo
10^L\,\log_{10}L \;<\;10^L\bigl(L - \log_{10}e\bigr) \;\Longrightarrow\; (\log n)^n \;<\; n!.

Passo 5

Juntando as duas desigualdades obtidas temos, em ordem crescente:
n^{\log n} \;<\;(\log n)^n \;<\;n!.
Nenhuma das alternativas (a), (b), (c) ou (d) corresponde exatamente a essa ordem.

Resposta

Não há alternativa correta.

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