(1,5) Resolva a seguinte integral aplicando a Regra dos Trapézios com 4 subintervalos e calcule o limitante superior para o erro.
\int_{0}^{1} e^{-x^{2}} d x
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a integral
\int_{0}^{1} e^{-x^{2}}\,dx:
aproximá-la usando a Regra dos Trapézios com 4 subintervalos; 2) calcular um limitante superior (uma cota) para o erro dessa aproximação.
Dados extraídos do enunciado: o intervalo é de a=0 a b=1 e o número de subintervalos é n=4. Não há outras informações externas.
Passo 2
Apresento a fórmula da Regra dos Trapézios e explico cada termo (aula rápida).
A Regra dos Trapézios com n subintervalos usa partição equidistante de [a,b] com passo h e aproxima a área por trapézios. A fórmula é
onde h=\dfrac{b-a}{n} e x_i=a+i h. Aqui f(x)=e^{-x^{2}}.
Interpretação: h é a largura de cada subintervalo; \frac{f(a)+f(b)}{2} faz a média das alturas nas extremidades; a soma agrega as alturas internas. Multiplicando por h obtemos a soma das áreas dos trapézios.
Avalio f(x)=e^{-x^{2}} em cada nó (mostro como obter aproximadamente cada valor).
f(x_0)=f(0)=e^{0}=1.
f(x_1)=f(0,25)=e^{-(0,25)^{2}}=e^{-0,0625}. Para e^{-0,0625} uso a expansão em série curta para obter boa precisão: e^{-t}\approx 1-t+\tfrac{t^{2}}{2}-\tfrac{t^{3}}{6}+\cdots com t=0,0625. Calculando os termos: 1-0,0625+0,001953125-0,0000406901\approx 0,93941306. Logo
f(0,25)\approx 0,93941306.
f(x_2)=f(0,5)=e^{-0,25}. Valor conhecido: e^{-0,25}\approx 0,77880078.
Interpretação do resultado do Passo 5: a aproximação pela Regra dos Trapézios com 4 subintervalos é
T_4\approx 0,742984095.
(Isto significa que a integral foi aproximada por cerca de 0,74298.)
Passo 7
Agora a cota superior para o erro. Primeiro apresento a fórmula do erro da Regra dos Trapézios: se f é duas vezes continuamente diferenciável em [a,b] e M=\max_{x\in[a,b]} |f''(x)|, então
Essa fórmula vem da análise do termo do erro na aproximação por trapézios (não é preciso derivá-la aqui, mas é importante saber usar). Vamos calcular f''(x) e achar um M conveniente.
Passo 8
Calculo de f''(x) para f(x)=e^{-x^{2}}. Primeiro a derivada:
Queremos M=\max_{x\in[0,1]} |f''(x)|. Observe que em [0,1] temos e^{-x^{2}}\le 1 e |4x^{2}-2|\le 2 porque 4x^{2}-2 varia entre -2 (em x=0) e 2 (em x=1). Em x=0 obtemos
|f''(0)|=|(-2)\cdot 1|=2,
e nos outros pontos o valor absoluto é menor (por exemplo, em x=1 temos |f''(1)|=2e^{-1}\approx0,7358<2). Portanto o máximo absoluto em [0,1] é
Conclusão: o erro absoluto da aproximação por trapézios com 4 subintervalos é no máximo 1/96 (aproximadamente 0,0104167). Note que a aproximação numérica T_4\approx 0,74298 está dentro dessa cota em comparação com o valor exato (o valor exato é \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(1)\approx 0,74682413, diferença \approx 0,00384, menor que 0,01042).