(1,5) Resolva a seguinte integral aplicando a Regra dos Trapézios com 4 subintervalos e calcule o limitante superior para o erro.
\int_{0}^{1} e^{-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a integral
\int_{0}^{1} e^{-x^{2}}\,dx:
  1. aproximá-la usando a Regra dos Trapézios com 4 subintervalos; 2) calcular um limitante superior (uma cota) para o erro dessa aproximação.
    Dados extraídos do enunciado: o intervalo é de a=0 a b=1 e o número de subintervalos é n=4. Não há outras informações externas.

Passo 2

Apresento a fórmula da Regra dos Trapézios e explico cada termo (aula rápida).
A Regra dos Trapézios com n subintervalos usa partição equidistante de [a,b] com passo h e aproxima a área por trapézios. A fórmula é
T_n = h\left(\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\right),
onde h=\dfrac{b-a}{n} e x_i=a+i h. Aqui f(x)=e^{-x^{2}}.
Interpretação: h é a largura de cada subintervalo; \frac{f(a)+f(b)}{2} faz a média das alturas nas extremidades; a soma agrega as alturas internas. Multiplicando por h obtemos a soma das áreas dos trapézios.

Passo 3

Calculo do passo e dos pontos da partição.
h=\frac{b-a}{n}=\frac{1-0}{4}=\frac{1}{4}=0,25.
Os nós são
x_0=0,\quad x_1=0,25,\quad x_2=0,5,\quad x_3=0,75,\quad x_4=1.

Passo 4

Avalio f(x)=e^{-x^{2}} em cada nó (mostro como obter aproximadamente cada valor).
  • f(x_0)=f(0)=e^{0}=1.
  • f(x_1)=f(0,25)=e^{-(0,25)^{2}}=e^{-0,0625}. Para e^{-0,0625} uso a expansão em série curta para obter boa precisão: e^{-t}\approx 1-t+\tfrac{t^{2}}{2}-\tfrac{t^{3}}{6}+\cdots com t=0,0625. Calculando os termos: 1-0,0625+0,001953125-0,0000406901\approx 0,93941306. Logo
f(0,25)\approx 0,93941306.
  • f(x_2)=f(0,5)=e^{-0,25}. Valor conhecido: e^{-0,25}\approx 0,77880078.
  • f(x_3)=f(0,75)=e^{-0,5625}. Podemos obter e^{-0,5625}=e^{-0,5}e^{-0,0625}\approx 0,60653066\cdot 0,93941306\approx 0,56978282.
  • f(x_4)=f(1)=e^{-1}\approx 0,36787944.
Resumindo os valores (com precisão suficiente para a prova):
\begin{aligned} f(0)&=1,\\\ f(0,25)&\approx 0,93941306,\\\ f(0,5)&\approx 0,77880078,\\\ f(0,75)&\approx 0,56978282,\\\ f(1)&\approx 0,36787944. \end{aligned}

Passo 5

Substituo os valores na fórmula do Trapézio. Primeiro a soma interna:
\frac{f(0)+f(1)}{2}=\frac{1+0,36787944}{2}=0,68393972.
A soma das alturas internas é
f(0,25)+f(0,5)+f(0,75)\approx 0,93941306+0,77880078+0,56978282=2,28799666.
Somando tudo dentro do parêntese:
0,68393972+2,28799666=2,97193638.
Multiplicando por h=0,25:
T_4 = 0,25\cdot 2,97193638 \approx 0,742984095.

Passo 6

Interpretação do resultado do Passo 5: a aproximação pela Regra dos Trapézios com 4 subintervalos é
T_4\approx 0,742984095.
(Isto significa que a integral foi aproximada por cerca de 0,74298.)

Passo 7

Agora a cota superior para o erro. Primeiro apresento a fórmula do erro da Regra dos Trapézios: se f é duas vezes continuamente diferenciável em [a,b] e M=\max_{x\in[a,b]} |f''(x)|, então
|E_T|=\left|\int_a^b f(x)\,dx - T_n\right|\le \frac{(b-a)^{3}}{12 n^{2}}\,M.
Essa fórmula vem da análise do termo do erro na aproximação por trapézios (não é preciso derivá-la aqui, mas é importante saber usar). Vamos calcular f''(x) e achar um M conveniente.

Passo 8

Calculo de f''(x) para f(x)=e^{-x^{2}}. Primeiro a derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx} e^{-x^{2}} = -2x\,e^{-x^{2}}.
Derivando de novo:
f''(x)=\frac{d}{dx}(-2x\,e^{-x^{2}}) = -2\,e^{-x^{2}} + (-2x)(-2x\,e^{-x^{2}}).
Simplificando:
f''(x)=(-2 +4x^{2})e^{-x^{2}}=(4x^{2}-2)e^{-x^{2}}.
Queremos M=\max_{x\in[0,1]} |f''(x)|. Observe que em [0,1] temos e^{-x^{2}}\le 1 e |4x^{2}-2|\le 2 porque 4x^{2}-2 varia entre -2 (em x=0) e 2 (em x=1). Em x=0 obtemos
|f''(0)|=|(-2)\cdot 1|=2,
e nos outros pontos o valor absoluto é menor (por exemplo, em x=1 temos |f''(1)|=2e^{-1}\approx0,7358<2). Portanto o máximo absoluto em [0,1] é
M=2.

Passo 9

Aplico a fórmula da cota com a=0, b=1, n=4 e M=2:
|E_T|\le \frac{(1-0)^{3}}{12\cdot 4^{2}}\cdot 2 = \frac{1}{12\cdot 16}\cdot 2 = \frac{2}{192}=\frac{1}{96}.
Em forma decimal,
\frac{1}{96}\approx 0,0104167.
Conclusão: o erro absoluto da aproximação por trapézios com 4 subintervalos é no máximo 1/96 (aproximadamente 0,0104167). Note que a aproximação numérica T_4\approx 0,74298 está dentro dessa cota em comparação com o valor exato (o valor exato é \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(1)\approx 0,74682413, diferença \approx 0,00384, menor que 0,01042).

Resposta

T_4\approx 0,742984095
|E_T|\le \dfrac{1}{96}\approx 0,0104167

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