Verifique se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo, encontre uma função potencial.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede duas coisas: (1) verificar se esse campo é conservativo em algum domínio; (2) caso seja, encontrar uma função potencial.
Informações relevantes entregues pelo enunciado: a função exponencial e os fatores
aparecem multiplicando essa exponencial; o campo está escrito de forma explícita em
. Não há restrição explícita de domínio no enunciado, então podemos considerar o domínio natural onde o campo está definido (tipicamente
).
Informações relevantes entregues pelo enunciado: a função exponencial
Passo 2
O que significa ser conservativo (explicação didática e curta)? Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar
tal que
. Uma maneira prática, quando o campo é suficientemente suave e o domínio é simplesmente conexo, é verificar se o rotacional (curl) do campo é o vetor zero:
. Se isso ocorrer em um domínio simplesmente conexo, então existe função potencial. Vamos aplicar isso ao campo dado.
Escrevemos as componentes do campo:
O rotacional é dado por
Passo 3
Calculemos cada termo do rotacional com cuidado (cada derivada parcial explicada):
- Primeiro componente:
pois ao derivar em relação a
tratamos
e
como constantes.
pois ao derivar
obtemos
e
é constante. Portanto
- Segunda componente:
Logo
- Terceira componente:
Logo
Portanto
Passo 4
Interpretação do resultado e domínio: o campo é suave e o rotacional é nulo em todo
. Como
é simplesmente conexo (sem “buracos”), o teorema garante que
é conservativo em
. Agora vamos encontrar explicitamente a função potencial
tal que
.
Começamos integrando a primeira relação
Integrando em relação a
(tratando
como constantes):
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
e
.
Passo 5
Usamos as outras componentes para determinar
. Calculemos
a partir da expressão anterior:
Essa derivada deve ser igual a
. Portanto
Isso significa que
não depende de
; logo
para alguma função
de
somente.
Agora calculemos
:
Isso deve ser igual a
. Assim
Logo
é constante:
.
Passo 6
Conclusão e escrita final da potencial: portanto uma função potencial é
onde
é uma constante arbitrária. Normalmente escolhemos
e escrevemos
. Podemos verificar rapidamente que
reproduz
, que já foi visto durante o processo.
Resposta
Sim, é conservativo em
(e em qualquer domínio simplesmente conexo onde o campo esteja definido).