Verifique se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo, encontre uma função potencial.
\vec{q}(x, y, z)=e^{z}(y \vec{i}+x \vec{j}+x y \vec{k})

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{q}(x,y,z)=e^{z}\big(y\,\vec{i}+x\,\vec{j}+xy\,\vec{k}\big)
e pede duas coisas: (1) verificar se esse campo é conservativo em algum domínio; (2) caso seja, encontrar uma função potencial.
Informações relevantes entregues pelo enunciado: a função exponencial \mathrm{e}^{z} e os fatores x,y,xy aparecem multiplicando essa exponencial; o campo está escrito de forma explícita em x,y,z. Não há restrição explícita de domínio no enunciado, então podemos considerar o domínio natural onde o campo está definido (tipicamente \mathbb{R}^3).

Passo 2

O que significa ser conservativo (explicação didática e curta)? Um campo vetorial \vec{F} é conservativo se existe uma função escalar \varphi(x,y,z) tal que \nabla \varphi=\vec{F}. Uma maneira prática, quando o campo é suficientemente suave e o domínio é simplesmente conexo, é verificar se o rotacional (curl) do campo é o vetor zero: \nabla\times\vec{F}=\vec{0}. Se isso ocorrer em um domínio simplesmente conexo, então existe função potencial. Vamos aplicar isso ao campo dado.
Escrevemos as componentes do campo:
q_1(x,y,z)=e^{z}y,\qquad q_2(x,y,z)=e^{z}x,\qquad q_3(x,y,z)=e^{z}xy.
O rotacional é dado por
\nabla\times\vec{q}=\Big(\frac{\partial q_3}{\partial y}-\frac{\partial q_2}{\partial z},\; \frac{\partial q_1}{\partial z}-\frac{\partial q_3}{\partial x},\; \frac{\partial q_2}{\partial x}-\frac{\partial q_1}{\partial y}\Big).

Passo 3

Calculemos cada termo do rotacional com cuidado (cada derivada parcial explicada):
  • Primeiro componente:
\frac{\partial q_3}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{z}xy\big)=e^{z}x,
pois ao derivar em relação a y tratamos x e z como constantes.
\frac{\partial q_2}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(e^{z}x\big)=e^{z}x,
pois ao derivar e^{z} obtemos e^{z} e x é constante. Portanto
\frac{\partial q_3}{\partial y}-\frac{\partial q_2}{\partial z}=e^{z}x-e^{z}x=0.
  • Segunda componente:
\frac{\partial q_1}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(e^{z}y\big)=e^{z}y,
\frac{\partial q_3}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{z}xy\big)=e^{z}y.
Logo
\frac{\partial q_1}{\partial z}-\frac{\partial q_3}{\partial x}=e^{z}y-e^{z}y=0.
  • Terceira componente:
\frac{\partial q_2}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{z}x\big)=e^{z},
\frac{\partial q_1}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{z}y\big)=e^{z}.
Logo
\frac{\partial q_2}{\partial x}-\frac{\partial q_1}{\partial y}=e^{z}-e^{z}=0.
Portanto
\nabla\times\vec{q}=\vec{0}\quad\text{em todo ponto onde o campo está definido (isto é, em \(\mathbb{R}^3\)).}áé

Passo 4

Interpretação do resultado e domínio: o campo é suave e o rotacional é nulo em todo \mathbb{R}^3. Como \mathbb{R}^3 é simplesmente conexo (sem “buracos”), o teorema garante que \vec{q} é conservativo em \mathbb{R}^3. Agora vamos encontrar explicitamente a função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\vec{q}.
Começamos integrando a primeira relação
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=q_1=e^{z}y.
Integrando em relação a x (tratando y,z como constantes):
\varphi(x,y,z)=\int e^{z}y\,dx = e^{z}y\,x + C(y,z),
onde C(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z.

Passo 5

Usamos as outras componentes para determinar C(y,z). Calculemos \partial\varphi/\partial y a partir da expressão anterior:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{z}xy + C(y,z)\big)=e^{z}x + \frac{\partial C}{\partial y}.
Essa derivada deve ser igual a q_2=e^{z}x. Portanto
e^{z}x + \frac{\partial C}{\partial y}=e^{z}x \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial C}{\partial y}=0.
Isso significa que C não depende de y; logo C(y,z)=h(z) para alguma função h de z somente.
Agora calculemos \partial\varphi/\partial z:
\frac{\partial \varphi}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(e^{z}xy + h(z)\big)=xy\,e^{z} + h'(z).
Isso deve ser igual a q_3=e^{z}xy. Assim
xy\,e^{z} + h'(z) = xy\,e^{z} \quad\Rightarrow\quad h'(z)=0.
Logo h(z) é constante: h(z)=C_0.

Passo 6

Conclusão e escrita final da potencial: portanto uma função potencial é
\varphi(x,y,z)=x y e^{z} + C_0,
onde C_0 é uma constante arbitrária. Normalmente escolhemos C_0=0 e escrevemos \varphi(x,y,z)=x y e^{z}. Podemos verificar rapidamente que \nabla\varphi reproduz \vec{q}, que já foi visto durante o processo.

Resposta

Sim, é conservativo em \mathbb{R}^3 (e em qualquer domínio simplesmente conexo onde o campo esteja definido).
\varphi(x,y,z)=x y e^{z} + C

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