Resolva o seguinte sistema das equações lineares. 2x + y + z + w = 1; x + 2y + z + w = 2; x + y + 2z + w = 3; x + y + z + 2w = 4

Passo 1

Beleza, temos um sistema de 4 equações com 4 incógnitas (x, y, z, w). O objetivo é encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem todas as equações simultaneamente. Para resolver, vamos usar o método de eliminação, que envolve manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez.
As equações são:
  1. 2x + y + z + w = 1
  2. x + 2y + z + w = 2
  3. x + y + 2z + w = 3
  4. x + y + z + 2w = 4

Passo 2

Primeiro, vamos tentar eliminar uma variável de duas das equações para simplificar o sistema. Vou escolher eliminar x.
Para isso, subtraímos a segunda equação da primeira:
(2x + y + z + w) - (x + 2y + z + w) = 1 - 2
x - y = -1 (Equação 5) çã

Passo 3

Agora, eliminamos x eliminando-o entre a primeira e a terceira equação:
(2x + y + z + w) - (x + y + 2z + w) = 1 - 3
x - z = -2 (Equação 6) çã

Passo 4

Em seguida, eliminamos x entre a primeira e a quarta equação:
(2x + y + z + w) - (x + y + z + 2w) = 1 - 4
x - w = -3 (Equação 7) çã

Passo 5

Agora temos três novas equações sem x:
  1. x - y = -1
  2. x - z = -2
  3. x - w = -3
Vamos expressar y, z e w em termos de x:
y = x + 1
z = x + 2
w = x + 3

Passo 6

Agora, substituímos y, z e w em termos de x na segunda equação original:
x + 2y + z + w = 2
x + 2(x + 1) + (x + 2) + (x + 3) = 2
x + 2x + 2 + x + 2 + x + 3 = 2
5x + 7 = 2

Passo 7

Resolvendo para x:
5x = 2 - 7
5x = -5
x = -1

Passo 8

Agora que temos x = -1, substituímos esse valor nas expressões para y, z e w:
y = (-1) + 1 = 0
z = (-1) + 2 = 1
w = (-1) + 3 = 2

Resposta

A solução do sistema é:
x = -1, y = 0, z = 1, w = 2

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