Obtenha a solução particular da equação diferencial 2 s ′ + 4 s − 8 e 2 x = 0, sabendo que o valor de s para x = 0 vale 2:
s ( x ) = e x + 2 e − x
s ( x ) = e 2 x − e − x
s ( x ) = e 2 x − 2 e − 2 x
s ( x ) = e 2 x + e − 2 x
s ( x ) = e 2 x + 2 e − 2 x
s ( x ) = e x + 2 e − x
s ( x ) = e 2 x − e − x
s ( x ) = e 2 x − 2 e − 2 x
s ( x ) = e 2 x + e − 2 x
s ( x ) = e 2 x + 2 e − 2 x
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial para resolver:
E também me disse que quando $ x = 0 $, $ s(0) = 2 $.
Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e fator integrante para encontrar a solução particular dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear. Dividindo todos os termos por 2, temos:
Aqui, $ s’ $ é a derivada de $ s $ em relação a $ x $, $ p(x) = 2 $ é o coeficiente de $ s $, e $ g(x) = 4e^{2x} $ é a função do lado direito.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante ($ \mu(x) $) que nos ajuda a resolver essa equação. O fator integrante é dado por:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a integração.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto $ e^{2x}s $.
Passo 5
Escrevemos a equação da seguinte forma:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ x $.
Passo 6
Integrando, temos:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Calculando a integral:
Então, substituindo de volta:
Passo 8
Resolvendo para $ s $, dividimos ambos os lados por $ e^{2x} $:
Passo 9
Agora, aplicamos a condição inicial $ s(0) = 2 $:
Resposta
A solução particular é: