Obtenha a solução particular da equação diferencial 2 s ′ + 4 s − 8 e 2 x = 0, sabendo que o valor de s para x = 0 vale 2:
s ( x ) = e x + 2 e − x
s ( x ) = e 2 x − e − x
s ( x ) = e 2 x − 2 e − 2 x
s ( x ) = e 2 x + e − 2 x
s ( x ) = e 2 x + 2 e − 2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial para resolver:
2s' + 4s - 8e^2x = 0
E também me disse que quando $ x = 0 $, $ s(0) = 2 $.
Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e fator integrante para encontrar a solução particular dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear. Dividindo todos os termos por 2, temos:
s' + 2s = 4e^2x
Aqui, $ s’ $ é a derivada de $ s $ em relação a $ x $, $ p(x) = 2 $ é o coeficiente de $ s $, e $ g(x) = 4e^{2x} $ é a função do lado direito.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante ($ \mu(x) $) que nos ajuda a resolver essa equação. O fator integrante é dado por:
mu(x)
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a integração.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
e^2xs' + 2e^2xs = 4e^4x
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto $ e^{2x}s $.

Passo 5

Escrevemos a equação da seguinte forma:
ddx(e^2xs) = 4e^4x
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ x $.

Passo 6

Integrando, temos:
e^2xs = integral 4e^4x dx + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Calculando a integral:
integral 4e^4x dx = e^4x + C
Então, substituindo de volta:
e^2xs = e^4x + C

Passo 8

Resolvendo para $ s $, dividimos ambos os lados por $ e^{2x} $:
s

Passo 9

Agora, aplicamos a condição inicial $ s(0) = 2 $:
s(0) = 2
2 = e^0 + C e^0
2 = 1 + C

Resposta

A solução particular é:
s(x) = e^2x + e^-2x

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