Resolva as seguintes edo com o pvi:
x^{3} y^{\prime \prime \prime}-3 x^{2} y^{\prime \prime}+6 x y^{\prime}-6 y=3, com y(1)=-1 / 2, y^{\prime}(1)=0, y^{\prime \prime}(1)=-2.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
x^{3}y^{\prime\prime\prime}-3x^{2}y^{\prime\prime}+6x\,y^{\prime}-6y=3,
com
y(1)=-\tfrac12,\quad y'(1)=0,\quad y''(1)=-2.
Este é um EDO de Euler–Cauchy de terceira ordem. Vamos resolver encontrando primeiro a solução da homogênea, depois uma particular, e por fim determinar as constantes pelo PVI.

Passo 2

Para a homogênea, supomos uma solução do tipo y=x^r. Substituindo em
x^{3}y^{\prime\prime\prime}-3x^{2}y^{\prime\prime}+6x\,y^{\prime}-6y=0
obtém-se a equação indicial
r(r-1)(r-2)-3r(r-1)+6r-6=0.
Expandindo e agrupando, chega-se a
r^{3}-6r^{2}+11r-6=0,
cuja fatoração é (r-1)(r-2)(r-3)=0. Assim,
r=1,2,3.

Passo 3

Da lista de raízes segue a solução geral da homogênea:
y_{h}(x)=C_{1}x+C_{2}x^{2}+C_{3}x^{3}.

Passo 4

Como o termo não homogêneo é constante 3, tentamos y_{p}=A. Então y_{p}'=y_{p}''=y_{p}'''=0 e a EDO dá
-6A=3\quad\Longrightarrow\quad A=-\tfrac12.
Logo
y_{p}(x)=-\tfrac12.

Passo 5

A solução geral do problema é
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}x+C_{2}x^{2}+C_{3}x^{3}-\tfrac12.
Calculamos as derivadas necessárias:
y'(x)=C_{1}+2C_{2}x+3C_{3}x^{2},
y''(x)=2C_{2}+6C_{3}x.

Passo 6

Usamos as condições em x=1:
y(1)=C_{1}+C_{2}+C_{3}-\tfrac12=-\tfrac12,
y'(1)=C_{1}+2C_{2}+3C_{3}=0,
y''(1)=2C_{2}+6C_{3}=-2.
Isto gera o sistema
\begin{cases} C_{1}+C_{2}+C_{3}=0,\\\ C_{1}+2C_{2}+3C_{3}=0,\\\\ 2C_{2}+6C_{3}=-2. \end{cases}

Passo 7

Do segundo menos o primeiro: C_{2}+2C_{3}=0, logo C_{2}=-2C_{3}. Substituindo na terceira equação:
2(-2C_{3})+6C_{3}=-2\quad\Longrightarrow\quad2C_{3}=-2\quad\Longrightarrow\quad C_{3=-1}.
Então C_{2}=2 e da primeira C_{1}=-1.

Resposta

y(x)=-x^{3}+2x^{2}-x-\tfrac12.

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