4 ( 25 pts) Considere a função f(x) abaixo e esboce o gráfico da sua extensão periódica par g(x) e da sua extensão periódica impar h(x), ambas com período 6 . Em seguida, encontre as séries de Fourier em senos e cossenos de:
f(x)=3-x, \quad 0<x<3
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x)=3 - x,\quad 0 < x < 3
e pede: 1. O esboço da extensão periódica par g(x) de período 6. 2. O esboço da extensão periódica ímpar h(x) de período 6. 3. As séries de Fourier em cossenos (para g) e em senos (para h).
Para resolver, vamos primeiro descrever as extensões par e ímpar (com período T=6) e depois usar as fórmulas padrão de série de Fourier num intervalo [-L,L] com L=3.
Passo 2
A extensão periódica par g(x) de período 6 satisfaz
g(-x)=g(x),\quad g(x+6)=g(x),
e coincide com f(x) em (0,3). Logo, em cada período de comprimento 6 temos, para -3<x<3,
g(x)=3 - |x|.
Graficamente, em [-3,3] é um “V” invertido com valor máximo g(0)=3 e zeros em x=\pm3, repetido a cada 6 unidades.
Passo 3
A extensão periódica ímpar h(x)\) de período \(6\) satisfaz
\[h(-x)=-h(x),\quad h(x+6)=h(x),
e coincide com f(x) em (0,3). Assim, em cada período, para -3<x<3,