4 ( 25 pts) Considere a função f(x) abaixo e esboce o gráfico da sua extensão periódica par g(x) e da sua extensão periódica impar h(x), ambas com período 6 . Em seguida, encontre as séries de Fourier em senos e cossenos de:
f(x)=3-x, \quad 0<x<3

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=3 - x,\quad 0 < x < 3
e pede:
1. O esboço da extensão periódica par g(x) de período 6.
2. O esboço da extensão periódica ímpar h(x) de período 6.
3. As séries de Fourier em cossenos (para g) e em senos (para h).
Para resolver, vamos primeiro descrever as extensões par e ímpar (com período T=6) e depois usar as fórmulas padrão de série de Fourier num intervalo [-L,L] com L=3.

Passo 2

A extensão periódica par g(x) de período 6 satisfaz
g(-x)=g(x),\quad g(x+6)=g(x),
e coincide com f(x) em (0,3). Logo, em cada período de comprimento 6 temos, para -3<x<3,
g(x)=3 - |x|.
Graficamente, em [-3,3] é um “V” invertido com valor máximo g(0)=3 e zeros em x=\pm3, repetido a cada 6 unidades.

Passo 3

A extensão periódica ímpar h(x)\) de período \(6\) satisfaz \[h(-x)=-h(x),\quad h(x+6)=h(x),
e coincide com f(x) em (0,3). Assim, em cada período, para -3<x<3,
h(x)=\begin{cases} 3 - x, & 0<x<3,\\\\ -(3 + x), & -3<x<0, \end{cases}
o que é um triângulo simétrico ímpar de altura 3\] em \(x=0, repetido a cada 6.

Passo 4

Para a série de Fourier de período 2L=6 com L=3, a forma geral é
g(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\bigr), \quad h(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\bigr).
Os coeficientes valem
a_{n}=\frac{1}{3}\int_{-3}^{3}g(x)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\bigr)\,dx =\frac{2}{3}\int_{0}^{3}(3-x)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\bigr)\,dx,
b_{n}=\frac{1}{3}\int_{-3}^{3}h(x)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\bigr)\,dx =\frac{2}{3}\int_{0}^{3}(3-x)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\bigr)\,dx.

Passo 5

Cálculo de a_{n}\): seja \(\alpha=\tfrac{n\pi}{3}\). \[\int_{0}^{3}(3-x)\cos(\alpha x)\,dx =\frac{1}{\alpha^{2}}\bigl[1-(-1)^{n}\bigr].
Logo
a_{n} =\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\alpha^{2}}\bigl[1-(-1)^{n}\bigr] =\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{n^{2}\pi^{2}}\bigl[1-(-1)^{n}\bigr] =\frac{6}{n^{2}\pi^{2}}\bigl[1-(-1)^{n}\bigr].
Como 1-(-1)^{n}=0 para n par e 2 para n ímpar, concluímos
a_{n}=\begin{cases} \displaystyle \frac{12}{n^{2}\pi^{2}},&n\text{ ímpar},\\\\ 0,&n\text{ par}. \end{cases}í
E ainda
a_{0} =\frac{1}{3}\int_{-3}^{3}g(x)\,dx =\frac{2}{3}\int_{0}^{3}(3-x)\,dx =3,
então o termo constante é (\tfrac{a_{0}}{2}= \tfrac{3}{2}].

Passo 6

A série de Fourier em cossenos para a extensão par g(x) fica
g(x) =\frac{3}{2} +\sum_{k=1}^{\infty}\frac{12}{(2k-1)^{2}\pi^{2}} \cos\!\Bigl(\tfrac{(2k-1)\pi x}{3}\Bigr).

Passo 7

Cálculo de b_{n}: com \alpha=\tfrac{n\pi}{3},
\int_{0}^{3}(3-x)\sin(\alpha x)\,dx =\frac{3}{\alpha},
portanto
b_{n} =\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{\alpha} =\frac{2}{\alpha} =\frac{6}{n\pi}.

Passo 8

A série de Fourier em senos para a extensão ímpar h(x) fica
h(x) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{6}{n\pi} \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\Bigr).

Resposta

g(x) = extensão par, período 6:
g(x) =\frac{3}{2} +\sum_{k=1}^{\infty}\frac{12}{(2k-1)^{2}\pi^{2}} \cos\!\Bigl(\tfrac{(2k-1)\pi x}{3}\Bigr).
h(x) = extensão ímpar, período 6:
h(x) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{6}{n\pi} \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\Bigr).

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