Resolva as seguintes edo com o pvi:
y^{(4)}+2 y^{\prime \prime}+y=\operatorname{sen}(t), \operatorname{com} y(0)=2, y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=-1 e y^{\prime \prime \prime}(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y^{(4)} + 2\,y'' + y = \sin(t),\quad y(0)=2,\;y'(0)=0,\;y''(0)=-1,\;y^{(3)}(0)=1.
O conteúdo é EDO linear de ordem 4 com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea, depois uma particular e, por fim, determinar as constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

Resolvendo a equação característica da homogênea
r^4 + 2r^2 + 1 = 0 \;\Longrightarrow\;(r^2+1)^2=0
temos raízes r=\pm i, cada uma com multiplicidade 2. Logo a solução da homogênea é
y_h(t) = (C_1 + C_2\,t)\cos t \;+\;(C_3 + C_4\,t)\sin t.

Passo 3

Para uma particular, como o termo forçante \sin t corresponde a raízes \pm i de multiplicidade 2, fazemos o ansatz
y_p(t) = t^2\bigl(A\cos t + B\sin t\bigr).
Calcula-se y_p''''+2y_p''+y_p (usando derivadas sucessivas ou o operador (D^2+1)^2) e encontra-se que
y_p''''+2y_p''+y_p = -8\bigl(A\cos t + B\sin t\bigr)\stackrel!=\sin t.
Comparando coeficientes:
-8A=0\quad\Longrightarrow\quad A=0,\qquad -8B=1\quad\Longrightarrow\quad B=-\tfrac18.
Logo
y_p(t) = -\tfrac18\,t^2\sin t.

Passo 4

A solução geral do problema é
y(t)=y_h(t)+y_p(t) = (C_1 + C_2\,t)\cos t + (C_3 + C_4\,t)\sin t \;-\;\tfrac18\,t^2\sin t.

Passo 5

Agora impomos as condições iniciais. Primeiro,
y(0)=C_1=2.
Depois, calculando y'(t) e avaliando em t=0, obtém-se
y'(0)=C_2 + C_3 = 0 \;\Longrightarrow\; C_3 = -C_2.
Em seguida, usando y''(t) e y''(0)=-1, chega-se a
-\,C_1 + 2\,C_4 = -1 \;\Longrightarrow\; -2 + 2\,C_4 = -1 \;\Longrightarrow\; C_4 = \tfrac12.
Por fim, com y^{(3)}(0)=1 e incluindo a contribuição de y_p^{(3)}(0)=-\tfrac34, vem
-2\,C_2 \;-\;\tfrac34 = 1 \;\Longrightarrow\; C_2 = -\tfrac78, \quad C_3 = \tfrac78.

Passo 6

Substituindo as constantes:
C_1=2,\; C_2=-\tfrac78,\; C_3=\tfrac78,\; C_4=\tfrac12,
obtém-se a solução final
\boxed{ y(t) = \Bigl(2 - \tfrac78\,t\Bigr)\cos t \;+\;\Bigl(\tfrac78 + \tfrac12\,t - \tfrac18\,t^2\Bigr)\sin t. }

Resposta

y(t) = \Bigl(2 - \tfrac78\,t\Bigr)\cos t \;+\;\Bigl(\tfrac78 + \tfrac12\,t - \tfrac18\,t^2\Bigr)\sin t.

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