Resolva as seguintes edo:
x^{3} y^{\prime \prime \prime}-9 x^{2} y^{\prime \prime}+38 x y^{\prime}-68 y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler
x^{3}y'''-9x^{2}y''+38x\,y'-68y=0.
Esse tipo de equação de coeficientes variáveis é resolvido supondo uma solução do tipo y=x^{m} e obtendo uma equação característica em m.

Passo 2

Suponha y=x^{m}. Então
y'=m\,x^{m-1}, \quad y''=m(m-1)x^{m-2}, \quad y'''=m(m-1)(m-2)x^{m-3}.
Substituindo na EDO:
x^{3}\bigl[m(m-1)(m-2)x^{m-3}\bigr] -9x^{2}\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr] +38x\bigl[m\,x^{m-1}\bigr] -68x^{m}=0
fatorando x^{m}:
\bigl[m(m-1)(m-2)-9m(m-1)+38m-68\bigr]x^{m}=0.
Como x^{m}\neq0, temos a equação característica
m(m-1)(m-2)-9m(m-1)+38m-68=0.

Passo 3

Expanda o produto e some termos semelhantes:
m(m-1)(m-2)=m^{3}-3m^{2}+2m, \quad -9m(m-1)=-9m^{2}+9m.
Logo
m^{3}-3m^{2}+2m-9m^{2}+9m+38m-68=0 \quad\Longrightarrow\quad m^{3}-12m^{2}+49m-68=0.

Passo 4

Procuramos raízes inteiras de m^{3}-12m^{2}+49m-68=0. Testando m=4:
4^{3}-12\cdot4^{2}+49\cdot4-68=64-192+196-68=0,
Logo m=4 é raiz. Fazendo a divisão sintética, o polinômio se reduz a
m^{2}-8m+17=0
cuja fórmula dá
m=\frac{8\pm\sqrt{64-68}}{2}=4\pm i.

Passo 5

As raízes são m_{1}=4 e m_{2,3}=4\pm i. A solução geral real combina o termo real x^{4} e o par complexo via
x^{4}\bigl[\cos(\ln(x))\bigr] \quad\text{e}\quad x^{4}\bigl[\sin(\ln(x))\bigr].
Portanto a solução geral é

Resposta

y(x)=C_{1}\,x^{4}+x^{4}\bigl(C_{2}\cos(\ln(x))+C_{3}\sin(\ln(x))\bigr),
onde C_{1}, C_{2} e C_{3} são constantes arbitrárias.

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