Resolva as seguintes EDOs pelo método clássico:
e
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária com condições iniciais e entrada constante. Dados fornecidos:
com
e condições iniciais
A tarefa é encontrar a função
que satisfaz a EDO e as condições iniciais, usando o método clássico. Nada mais será assumido além disso.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com
):
Para resolver, usamos a ansatz exponential
. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica:
Agora resolvemos essa equação quadrática. O discriminante é
portanto há uma raiz real dupla. A raiz é
Passo 3
Quando a equação característica tem uma raiz dupla
, a solução geral da parte homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais. Uma breve justificativa: para raízes distintas usamos
e
como soluções independentes; para raiz dupla o segundo motivo independente é
.
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa com o termo forçante constante
. Pelo método dos coeficientes indeterminados, para uma força constante tentamos uma solução particular constante:
onde
é um número a determinar. Substituindo em
temos
,
, logo
(Escolhemos constante porque a derivada de uma constante é zero e isso simplifica; também verificamos que uma constante não é solução da homogênea, então a escolha é válida.)
Passo 5
A solução geral da EDO é soma da homogênea com a particular:
Agora usamos as condições iniciais para determinar
e
.
Passo 6
Aplicamos
. Substituindo
em
:
Igualando a
obtemos
Passo 7
Agora precisamos de
para usar
. Diferenciando
:
usar regra do produto para .
Primeiro, escrevemos
usar regra do produto para
Primeiro, escrevemos
A derivada é
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 8
Agora impondo
. Substituindo
em
:
Igualando a zero:
Substituímos
obtido antes:
Passo 9
Substituindo
e
na solução geral obtemos a solução particular com as condições iniciais satisfeitas:
Opcionalmente podemos fatorar
:
que é algebraicamente equivalente.