Resolva as seguintes equaçães diferenciais:
\left(4 x^{3} y^{2}+y \cos x\right) d x+\left(2 x^{4} y+\sin x\right) d y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
(4x^3y^2 + y\cos x)\,dx + (2x^4y + \sin x)\,dy = 0.
O conteúdo é EDO exata. A estratégia é verificar exatidão e, se for exata, encontrar uma função potencial \Psi(x,y) tal que
d\Psi = M\,dx + N\,dy
com M(x,y)=4x^3y^2+y\cos x e N(x,y)=2x^4y+\sin x.

Passo 2

Calculemos
\frac{\partial M}{\partial y} =8x^3y+\cos x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =8x^3y+\cos x.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \Psi(x,y) tal que \Psi_x=M. Integramos M em x, tratando y como constante:
\Psi(x,y) =\int (4x^3y^2 + y\cos x)\,dx =y^2x^4 + y\sin x + h(y),
onde h(y) é função de y ainda a determinar.

Passo 4

Derivamos \Psi em y e igualamos a N:
\Psi_y = 2yx^4 + \sin x + h'(y) \stackrel{!}{=} 2x^4y + \sin x.
Daí h'(y)=0, isto é h(y) é constante.

Resposta

A solução geral fica dada implicitamente por
x^4y^2 + y\sin x = C.

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