Resolva as seguintes equaçães diferenciais:
\left(3 y^{2}+2 x\right) d x-\left(3 y^{2}-6 x y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\bigl(3y^{2}+2x\bigr)\,dx \;-\;\bigl(3y^{2}-6xy\bigr)\,dy=0.
O conteúdo é o de equações diferenciais exatas: queremos ver se existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y) \quad\text{e}\quad \frac{\partial \psi}{\partial y}=N(x,y),
com M(x,y)=3y^{2}+2x e N(x,y)=-\bigl(3y^{2}-6xy\bigr)= -3y^{2}+6xy.

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3y^{2}+2x) =6y,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-3y^{2}+6xy) =6y.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Construímos \psi(x,y) integrando M em relação a x:
\psi(x,y) = \int (3y^{2}+2x)\,dx =3xy^{2}+x^{2}+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), usamos
\frac{\partial \psi}{\partial y} =6xy + h'(y)
que deve ser igual a N(x,y)=-3y^{2}+6xy. Assim
6xy + h'(y) = -3y^{2} + 6xy \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=-3y^{2} \quad\Longrightarrow\quad h(y)=-y^{3}.

Passo 5

Portanto a função potencial é
\psi(x,y)=x^{2}+3xy^{2}-y^{3}
e a solução geral, em forma implícita, é
\psi(x,y)=C,
com C constante arbitrária.

Resposta

x^{2}+3xy^{2}-y^{3}=C.

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