Resolva as seguintes equações:
21.
21.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede que a gente encontre as funções
que satisfazem essa igualdade. Informações relevantes que já temos:
é a variável independente e
é a função desconhecida;
a equação envolve a derivada ;
devemos ter cuidado com pontos onde dividimos por ou por expressões que podem anular-se (ou seja, normalmente trabalharemos para
e evitando denominadores nulos).
a equação envolve a derivada
devemos ter cuidado com pontos onde dividimos por
Passo 2
Organizo a equação para isolar
. Somando
em ambos os lados e dividindo por
(assumindo por ora
), obtenho
Mostrei passo a passo: parti de
e dividi por
.
Passo 3
Faço a substituição
. Motivo: a presença de termos como
e
sugere que dividir por
pode simplificar a equação. Primeiro computo a derivada usando regra do produto:
Agora substituo
e
na equação original (antes de dividir por
novamente):
Desenvolvendo e simplificando (dividindo por
em seguida):
Passo 4
Obtive a equação para
:
Esta equação é separável: posso escrever os
de um lado e os
do outro. Faço a separação:
Explicação rápida do que estou a fazer: “separável” significa que a derivada pode ser colocada na forma
, permitindo integrar cada lado em sua variável.
Passo 5
Integro ambos os lados. Para o lado esquerdo uso a fórmula básica da integral de potência:
. Para o lado direito
. Assim
implies
onde
é constante arbitrária de integração. Reescrevo isolando
:
onde defini
(é só renomear a constante).
Passo 6
Agora resolvo para
:
Volto à variável original usando
:
Observações importantes sobre soluções especiais e domínio:
- A constante
é arbitrária real; deve-se evitar pontos onde (denominador nulo). - A solução está escrita para
. - Há uma solução particular constante de
ignorada pela divisão: se (isto é, ) então e a equação aceita . Isso dá a solução particular
que de fato satisfaz a equação original (pode ser verificado substituindo).