Resolva as seguintes equações:
21. x^{2} y^{\prime}-x^{2}-3 x y-y^{2}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}y' - x^{2} - 3xy - y^{2} = 0
e pede que a gente encontre as funções y(x) que satisfazem essa igualdade. Informações relevantes que já temos:
\;x é a variável independente e \;y=y(x) é a função desconhecida;
a equação envolve a derivada \;y';
devemos ter cuidado com pontos onde dividimos por x ou por expressões que podem anular-se (ou seja, normalmente trabalharemos para x\neq 0 e evitando denominadores nulos).

Passo 2

Organizo a equação para isolar \;y'. Somando x^{2}+3xy+y^{2} em ambos os lados e dividindo por x^{2} (assumindo por ora x\neq 0), obtenho
y' = 1 + \frac{3}{x}y + \frac{y^{2}}{x^{2}}.
Mostrei passo a passo: parti de x^{2}y' = x^{2}+3xy+y^{2} e dividi por x^{2}.

Passo 3

Faço a substituição \;y = x v(x). Motivo: a presença de termos como \frac{y}{x} e \frac{y^{2}}{x^{2}} sugere que dividir por x pode simplificar a equação. Primeiro computo a derivada usando regra do produto:
y' = v + x v'.
Agora substituo y e y' na equação original (antes de dividir por x^{2} novamente):
x^{2}(v + x v') - x^{2} - 3x(xv) - (xv)^{2} = 0.
Desenvolvendo e simplificando (dividindo por x^{2} em seguida):
x^{2}v + x^{3}v' - x^{2} - 3x^{2}v - x^{2}v^{2} = 0
\Rightarrow v + x v' - 1 - 3v - v^{2} = 0
\Rightarrow x v' = v^{2} + 2v + 1 = (v+1)^{2}.

Passo 4

Obtive a equação para v(x):
x\frac{dv}{dx} = (v+1)^{2}.
Esta equação é separável: posso escrever os v de um lado e os x do outro. Faço a separação:
\frac{dv}{(v+1)^{2}} = \frac{dx}{x}.
Explicação rápida do que estou a fazer: “separável” significa que a derivada pode ser colocada na forma g(v)\,dv = h(x)\,dx, permitindo integrar cada lado em sua variável.

Passo 5

Integro ambos os lados. Para o lado esquerdo uso a fórmula básica da integral de potência: \int (v+1)^{-2}\,dv = -(v+1)^{-1} + \text{constante}. Para o lado direito \int x^{-1}\,dx = \ln|x| + \text{constante}. Assim
\int \frac{dv}{(v+1)^{2}} = \int \frac{dx}{x}
implies
-\frac{1}{v+1} = \ln|x| + C,
onde C é constante arbitrária de integração. Reescrevo isolando \;v+1:
\frac{1}{v+1} = -\ln|x| - C =: C_{1} - \ln|x|,
onde defini C_{1}=-C (é só renomear a constante).

Passo 6

Agora resolvo para v:
v+1 = \frac{1}{C_{1} - \ln|x|},
v = \frac{1}{C_{1} - \ln|x|} - 1.
Volto à variável original usando y = x v:
y(x) = x\!\left(\frac{1}{C_{1} - \ln|x|} - 1\right) = \frac{x}{C_{1} - \ln|x|} - x.
Observações importantes sobre soluções especiais e domínio:
  • A constante C_{1} é arbitrária real; deve-se evitar pontos onde C_{1}-\ln|x|=0 (denominador nulo).
  • A solução está escrita para x\neq 0.
  • Há uma solução particular constante de v ignorada pela divisão: se v+1=0 (isto é, v=-1) então (v+1)^{2}=0 e a equação xv'=(v+1)^{2} aceita v\equiv -1. Isso dá a solução particular
y(x) = -x,
que de fato satisfaz a equação original (pode ser verificado substituindo).

Resposta

\displaystyle y(x)=\frac{x}{C-\ln|x|}-x,\quad C\in\mathbb{R},\\ x\neq 0,\\ C-\ln|x|\neq 0\n
\displaystyle y(x)=-x

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