( 3,0 Ponto) Para o projeto de um aterro, o projetista solicitou a um laboratório de solos que executasse ensaios de resistência ao cisalhamento e compressibilidade, em corpos de prova compactado nas condições de densidade seca máxima e com teor de umidade 1 \% abaixo da umidade ótima. O ensaio de compactação revelou uma densidade seca máxima de 2,2 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e umidade ótima de 9 \%. Considerando que os corpos de prova serăo moldados em cilindros de 10 cm de diâmetro interno e 15 cm de altura, pede-se:
a) Qual a massa de solo ûmido necessária para moldar 01 corpo de prova, com as condições do sole
b) Qual o grau de saturação que o solo apresentará nas condições de moldagem do corpo de prova? especificadas pelo projetista?
Considere a densidade relativa dos grăos de 2,6 .
c) Determine o peso especifico aparente saturado e peso especifico submerso da amostra moldada.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades listadas abaixo.
Dados fornecidos:
\rho_d = 2,2\\ \mathrm{g/cm^3}\quad(\text{densidade seca máxima})á
w_{opt} = 9\% = 0{,}09\quad(\text{umidade ótima})ó
O projetista pediu corpos de prova com teor de umidade 1\% abaixo da ótima, ou seja:
w = 9\% - 1\% = 8\% = 0{,}08.
Dimensões do corpo de prova:
d = 10\\ \mathrm{cm},\qquad h = 15\\ \mathrm{cm}.
Gravidade específica dos grãos:
G_s = 2{,}6.
Perguntas do enunciado:
a) Qual a massa de solo úmido necessária para moldar 01 corpo de prova nas condições especificadas?
b) Qual o grau de saturação S que o solo apresentará nas condições de moldagem?
c) Determine o peso específico aparente saturado ( \gamma_{\text{sat}} ) e o peso específico submerso ( \gamma' ) da amostra moldada.

Passo 2

Cálculo do volume do corpo de prova (cilindro). Fórmula do volume de um cilindro:
V = \pi r^2 h,
onde r é o raio interno e h é a altura. Aqui r = d/2 = 5\\ \mathrm{cm} e h = 15\\ \mathrm{cm}. Portanto:
V = \pi \cdot 5^2 \cdot 15 = 375\pi\\ \mathrm{cm^3}.
Valor numérico:
V \approx 375\pi \approx 1178{,}10\\ \mathrm{cm^3}.
Comentário didático: eu usei a fórmula geométrica básica do volume do cilindro; é a mesma que você memorizou: base (área do círculo) vezes altura.

Passo 3

Massa seca necessária para preencher o volume com a densidade seca dada. Relação entre densidade seca e massa seca:
\rho_d = \frac{M_{\text{seco}}}{V}\quad\Longrightarrow\quad M_{\text{seco}} = \rho_d \, V.
Substituindo \rho_d = 2{,}2\\ \mathrm{g/cm^3} e V \approx 1178{,}10\\ \mathrm{cm^3}:
M_{\text{seco}} = 2{,}2 \times 1178{,}10 \approx 2591{,}81\\ \mathrm{g}.
Convertendo para quilogramas:
M_{\text{seco}} \approx 2{,}59\\ \mathrm{kg}.
Comentário didático: a densidade seca significa “massa de sólidos por volume total”; multiplicando pela volume obtemos a massa de sólidos (massa seca) do corpo de prova.

Passo 4

Massa úmida necessária: a relação entre massa úmida e massa seca usando o teor de umidade w (em razão decimal) é:
M_{\text{úmido}} = M_{\text{seco}} \cdot (1 + w).ú
Aqui w = 0{,}08, então:
M_{\text{úmido}} = 2591{,}81 \times (1 + 0{,}08) \approx 2591{,}81 \times 1{,}08 \approx 2800{,}16\\ \mathrm{g}.ú
Em quilogramas:
M_{\text{úmido}} \approx 2{,}80\\ \mathrm{kg}.ú
Explicação prática: na prova você mede a massa seca necessária e depois adiciona água até obter 8\% (em massa) acima da massa seca para moldar a amostra.

Passo 5

Cálculo do void ratio e (razão de vazios) a partir de \rho_d e G_s. Fórmula derivada das definições:
\rho_d = \frac{G_s\,\rho_w}{1+e}\quad\Longrightarrow\quad e = \frac{G_s\,\rho_w}{\rho_d} - 1,
onde \rho_w é a densidade da água. Em unidades de \mathrm{g/cm^3} usamos \rho_w = 1{,}0\\ \mathrm{g/cm^3}. Substituindo:
e = \frac{2{,}6 \times 1{,}0}{2{,}2} - 1 = \frac{2{,}6}{2{,}2} - 1 \approx 0{,}18182.
Comentário didático: e é o volume de vazios por volume de sólidos; com densidade seca alta (2,2 g/cm^3) os vazios são pequenos.

Passo 6

Cálculo do grau de saturação S. Fórmula correta que relaciona teor de umidade w, G_s e e é:
S = \frac{w\,G_s}{e}.
Explicando a fórmula: w (razão massa água / massa sólidos), multiplicando por G_s e dividindo por e dá a fração dos vazios ocupada pela água (grau de saturação). Substituindo os valores:
S = \frac{0{,}08 \times 2{,}6}{0{,}18182} \approx \frac{0{,}208}{0{,}18182} \approx 1{,}144 \;(\text{razão}).ã
Convertendo para porcentagem:
S \approx 114{,}4\%.
Interpretação física e comentário prático: um S calculado maior que 100\% significa que o teor de umidade especificado ( 8\%) é maior do que o teor de umidade correspondente à saturação total dos vazios do solo compactado (isto é, há mais água do que a necessária para encher todos os vazios). Na prática isso quer dizer que a amostra ficaria saturada e haveria água livre (pelo excesso). Fisicamente o grau de saturação não pode exceder 100\%; portanto a amostra estará efetivamente saturada ( S=100\%) e o excesso é água livre.

Passo 7

Cálculo do peso específico aparente saturado \gamma_{\text{sat}} e do peso específico submerso \gamma'.
Há duas maneiras equivalentes de obter \gamma_{\text{sat}}. Eu uso a expressão que vem da soma das massas por volume no estado saturado:
\rho_{\text{sat}} = \frac{G_s\,\rho_w + e\,\rho_w}{1+e} = \rho_w\frac{G_s + e}{1+e}.
Multiplicando por g obtemos o peso específico saturado:
\gamma_{\text{sat}} = \gamma_w \frac{G_s + e}{1+e},
onde \gamma_w = \rho_w g \approx 9{,}81\\ \mathrm{kN/m^3}. Substituindo números (usando e \approx 0{,}18182):
\gamma_{\text{sat}} = 9{,}81 \cdot \frac{2{,}6 + 0{,}18182}{1 + 0{,}18182} = 9{,}81 \cdot \frac{2{,}78182}{1{,}18182} \approx 9{,}81 \cdot 2{,}35385 \approx 23{,}09\\ \mathrm{kN/m^3}.
O peso específico submerso é dado por
\gamma' = \gamma_{\text{sat}} - \gamma_w.
Logo:
\gamma' \approx 23{,}09 - 9{,}81 = 13{,}28\\ \mathrm{kN/m^3}.
Comentário adicional (útil para prova): você também pode calcular o peso específico úmido real da amostra tal como moldada (com w=8\%) por
\gamma = \rho_d(1+w)\,g = 2{,}2 \cdot 1{,}08 \cdot 9{,}81 \approx 23{,}30\\ \mathrm{kN/m^3}.
Observe que \gamma (amostra com excesso de água livre) fica ligeiramente maior que \gamma_{\text{sat}} porque há água além da necessária para saturar os vazios.

Resposta

a) M_{\text{úmido}} \approx 2800{,}16\\ \mathrm{g} = 2{,}80\\ \mathrm{kg}ú
b) S \approx 114{,}4\% (ou seja, há saturação completa e água livre)
c) \gamma_{\text{sat}} \approx 23{,}09\\ \mathrm{kN/m^3};\quad \gamma' \approx 13{,}28\\ \mathrm{kN/m^3}

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