( \mathbf{4 , 0} pontos) Um aterro de \mathbf{2 , 5} \mathrm{m} de altura e extensão infinita será construído sobre um terreno constituído por uma camada superior de 2,0 \mathrm{~m} de areia grossa, seguida por uma camada de argila com espessura de 10,0 \mathrm{~m}. Sob a camada de argila, existe um substrato rochoso impermeável. O nivel d’água atual encontrase numa profundidade de 1,0 \mathrm{~m} abaixo do topo da areia grossa. Dados os parâmetros na tabela abaixo e sabendo que o RPA é igual a 2, calcule:
Pede-se:
a) ( 2,0 pontos) O recalque total por adensamento primário.
b) ( 1,0 ponto) Considerando que a construtora terá 1,0 ano para construir o aterro e dar início à construçāo da estrutura, qual recalque que ocorrerá neste tempo?
c) ( \mathbf{1}, \mathbf{0} ponto) Qual o acréscimo de tensảo efetiva no centro da camada de argila, após o tempo de 2 anos?
Passo 1
O enunciado pede três coisas e dá vários dados. Vou organizar direitinho o que foi pedido e o que temos:
Pedidos:
a) Calcular o recalque total por adensamento primário da camada de argila (espessura 10{,}0\\ \mathrm{m}).
b) Considerando que a construtora terá 1{,}0 ano para construir o aterro e iniciar a obra, qual o recalque ocorrido nesse tempo.
c) Qual o acréscimo de tensão efetiva no centro da camada de argila, após 2 anos.
Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
\begin{aligned} &\text{Espessuras: areia superior }2{,}0\\ \mathrm{m},\\ \text{argila }10{,}0\\ \mathrm{m}.\\\ &\text{Nível d'água: }1{,}0\\ \mathrm{m}\\ \text{abaixo do topo da areia} \\ (\text{i.e. }z_{w}=1{,}0\\ \mathrm{m}).\\\ &\gamma_{\text{areia}}=18\\ \mathrm{kN/m^{3}};\quad \gamma_{\text{argila}}=16\\ \mathrm{kN/m^{3}};\quad \gamma_{\text{aterro}}=19\\ \mathrm{kN/m^{3}};\\\ &\gamma_{w}=10\\ \mathrm{kN/m^{3}}.\\\ &\text{Parâmetros de adensamento da argila: }C_{c}=1{,}8,\\ C_{r}=0{,}1,\\ e_{0}=2{,}8,\\ C_{v}=1{,}5\\ \mathrm{m^{2}/ano}.\\\ &\text{RPA} = 2\\ (\text{interpreto como razão de pré-adensamento = OCR }=\sigma'_{p}/\sigma'_{0}=2).\\\ &\text{Aterro: altura }H_{a}=2{,}5\\ \mathrm{m}. \end{aligned}
Observações importantes (relevantes para os cálculos; não vou resolver aqui, só anotar):
A expansão do aterro tem extensão infinita -> a sobrecarga adicional vertical é uniforme e igual a q=\gamma_{\text{aterro}}\cdot H_{a}.
A argila está saturada (camada inteira abaixo do nível d’água? O topo da argila está em z=2{,}0\\ \mathrm{m}, e o nível d’água está em z=1{,}0\\ \mathrm{m}; portanto a argila está saturada e drenará para cima, pois a base é rocha impermeável).
Como há substrato rochoso impermeável abaixo, a drenagem da argila será apenas para cima (drenagem simples) — isto afeta L no cálculo de T_{v}.
Para o cálculo de recalque por adensamento usarei a formula clássica de adensamento por compressão: \Delta S = \dfrac{H}{1+e_{0}}\times (termos de compressibilidade recompressão/virginal dependendo se ultrapassa \sigma'_{p}).
Interpreto RPA como OCR = 2, portanto \sigma'_{p}=2\:\sigma'_{0} em cada nível da camada (procedimento usual em questões didáticas).
Passo 2
Calcular a sobrecarga aplicada pelo aterro (tensão total adicional no topo) e os esforços verticais totais e tensões efetivas iniciais nos pontos importantes (topo, centro e base da argila). Isso é necessário para saber se o aumento de tensão atravessa a tensão de pré-adensamento e para aplicar as fórmulas de compressibilidade.
Escolho como referência vertical z contado a partir do topo do terreno (superfície), com areia de 0 a 2{,}0\\ \mathrm{m} e argila de 2{,}0 a 12{,}0\\ \mathrm{m}.
Nível d’água em z_{w}=1{,}0\\ \mathrm{m}.
Tensão vertical total \sigma_{v} e pressão de poros u em pontos:
Em z=2{,}0\\ \mathrm{m} (topo da argila):\sigma_{v}(2)=2{,}0\cdot 18=36{,}0\\ \mathrm{kPa}.Profundidade abaixo do nível da água: 2{,}0-1{,}0=1{,}0\\ \mathrm{m} entãou(2)=1{,}0\cdot 10=10{,}0\\ \mathrm{kPa}.Portanto tensão efetiva inicial no topo da argila:\sigma'_{0}(2)=\sigma_{v}-u=36-10=26{,}0\\ \mathrm{kPa}.
No centro da argila: centro em z_{\text{c}}=2{,}0+5{,}0=7{,}0\\ \mathrm{m}.\sigma_{v}(7)=\underbrace{2\cdot 18}_{\text{areia}} + \underbrace{5\cdot 16}_{\text{argila até o centro}}=36+80=116{,}0\\ \mathrm{kPa}.Pore pressure:u(7)=(7-1)\cdot 10=60{,}0\\ \mathrm{kPa}.Assim\sigma'_{0}(7)=116-60=56{,}0\\ \mathrm{kPa}.
No fundo da argila (em z=12{,}0\\ \mathrm{m}):\sigma_{v}(12)=2\cdot 18 + 10\cdot 16 =36+160=196{,}0\\ \mathrm{kPa},
u(12)=(12-1)\cdot 10=110{,}0\\ \mathrm{kPa},
\sigma'_{0}(12)=196-110=86{,}0\\ \mathrm{kPa}.
Verificação importante para o uso de C_{r} e C_{c}:\sigma'_{p}=\text{RPA}\cdot\sigma'_{0} = 2\cdot\sigma'_{0}.Para cada ponto, se \sigma'_{0}+q > \sigma'_{p} então haverá trecho de compressão virginal além da recompressão. Reescrevendo a condição:\sigma'_{0}+q > 2\sigma'_{0}\quad\Leftrightarrow\quad q>\sigma'_{0}.
No topo: \sigma'_{0}(2)=26{,}0<47{,}5\Rightarrow ultrapassa pré-adensamento (entra em virginal).
No centro: \sigma'_{0}(7)=56{,}0>47{,}5\Rightarrow neste ponto o aumento não ultrapassa \sigma'_{p} (ficará em recompressão somente).
No fundo: idem, recompressão somente.
Portanto parte superior da argila será comprimida até passar por pré-adensamento e entrar em compressão virginal; a parte inferior ficará apenas em recompressão.
Passo 3
Plano de cálculo do recalque total por adensamento primário (item a). Vou dividir a argila em duas zonas, seguindo a profundidade onde \sigma'_{0}(z)=q (ponto onde passa de virgin/rec). Essa divisão simplifica a integração das tensões e é prática comum em provas.
No intervalo da argila temos \sigma'_{0}(z)=6z+14 (ver dedução: \sigma_{v}=36+16(z-2)=16z+4, u=10(z-1)\Rightarrow\sigma'_{0}=(16z+4)-(10z-10)=6z+14).
Resolve-se 6z+14=47{,}5\Rightarrow z=5{,}5833\\ \mathrm{m}. Esse z está dentro da argila (entre 2 e 12), logo:
Zona 1 (superior): z\in[2{,}0,\\\ 5{,}5833] — aqui \sigma'_{0}<q e haverá recompressão até \sigma'_{p} e compressão virginal depois.
Zona 2 (inferior): z\in[5{,}5833,\\\ 12{,}0] — aqui \sigma'_{0}\ge q e haverá apenas recompressão (pois q\le\sigma'_{0}).
Para facilitar contas manuais, aproximei cada zona por uma tensão efetiva média na respectiva subcamada (método clássico de subdivisão em duas blocos com média linear). Em provas isso é aceito quando se justifica.
Espessuras das zonas:H_{1}=5{,}5833-2{,}0=3{,}5833\\ \mathrm{m},\qquad H_{2}=12{,}0-5{,}5833=6{,}4167\\ \mathrm{m}.
Fórmulas de compressão por fatia (usando a fórmula clássica de adensamento com base em índices):
Recompressão (quando tensões finais não ultrapassam \sigma'_{p}):\Delta S_{\text{rec}}=\frac{H}{1+e_{0}}\,C_{r}\,\log_{10}\!\left(\frac{\sigma'_{f}}{\sigma'_{0}}\right).
Compressão virginal (quando ultrapassa pré-adensamento):\Delta S_{\text{virg}}=\frac{H}{1+e_{0}}\,C_{c}\,\log_{10}\!\left(\frac{\sigma'_{f}}{\sigma'_{p}}\right).
Onde \sigma'_{f}=\sigma'_{0}+q é a tensão efetiva final (após dissipação) e \sigma'_{p}=2\,\sigma'_{0} (pela RPA).
Passo 4
Cálculos numéricos do recalque em cada zona (item a).
Recompressão (de \sigma'_{0} até \sigma'_{p}):\Delta S_{\text{rec,1}}=\frac{H_{1}}{1+e_{0}}\,C_{r}\,\log_{10}\!\left(\frac{\sigma'_{p}}{\sigma'_{0}}\right) =\frac{3{,}5833}{3{,}8}\cdot 0{,}1\cdot \log_{10}(2).
Compressão virginal (de \sigma'_{p} até \sigma'_{f}):\Delta S_{\text{virg,1}}=\frac{H_{1}}{1+e_{0}}\,C_{c}\,\log_{10}\!\left(\frac{\sigma'_{f}}{\sigma'_{p}}\right) =\frac{3{,}5833}{3{,}8}\cdot 1{,}8\cdot \log_{10}\!\left(\frac{84{,}25}{73{,}5}\right).Calcule o logaritmo:\frac{84{,}25}{73{,}5}=1{,}1456\quad\Rightarrow\quad \log_{10}(1{,}1456)\approx 0{,}05954.Logo\Delta S_{\text{virg,1}}\approx 0{,}9435\cdot 1{,}8\cdot 0{,}05954 =0{,}9435\cdot 0{,}10717\approx 0{,}1011\\ \mathrm{m}.
Total Zona 1:\Delta S_{1}=\Delta S_{\text{rec,1}}+\Delta S_{\text{virg,1}}\approx 0{,}0284+0{,}1011=0{,}1295\\ \mathrm{m}.
Zona 2 (inferior): H_{2}=6{,}4167\\ \mathrm{m}, \sigma'_{0,\text{avg}}=66{,}75\\ \mathrm{kPa}.
Aqui não ultrapassa pré-adensamento, portanto só recompressão de \sigma'_{0} até \sigma'_{0}+q:\Delta S_{2}=\frac{H_{2}}{1+e_{0}}\,C_{r}\,\log_{10}\!\left(\frac{\sigma'_{0}+q}{\sigma'_{0}}\right) =\frac{6{,}4167}{3{,}8}\cdot 0{,}1\cdot \log_{10}\!\left(1+\frac{47{,}5}{66{,}75}\right).Calcule:1+\frac{47{,}5}{66{,}75}=1{,}7113\quad\Rightarrow\quad \log_{10}(1{,}7113)\approx 0{,}2335.
Recalque total por adensamento primário:\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_{1}+\Delta S_{2}\approx 0{,}1295+0{,}0394=0{,}1689\\ \mathrm{m}.Arredondando de forma prática para prova: \Delta S_{\text{total}}\approx 0{,}169\\ \mathrm{m} (ou 169\\ \mathrm{mm}).
Passo 5
Cálculo do recalque ocorrido em t=1{,}0 ano (item b). Procedimento:
Para saber quanto do recalque total já ocorreu em t, calculamos o grau de adensamento médio U(t) e multiplicamos pelo recalque total: S(t)=U(t)\cdot \Delta S_{\text{total}}.
Como a base é impermeável, a argila drena apenas para cima (drenagem simples). Para drenagem simples o comprimento de escoamento adotado em T_{v} é H (espessura da camada). Assim:T_{v}=\frac{C_{v}\,t}{H^{2}}=\frac{1{,}5\cdot 1{,}0}{10^{2}}=\frac{1{,}5}{100}=0{,}015.
Para valores pequenos de T_{v} é prática comum usar a aproximação de Taylor (válida para início do processo):U(t)\approx \frac{2}{\sqrt{\pi}}\,\sqrt{T_{v}}.(Essa aproximação dá o grau médio de adensamento para T_{v} pequeno e coincide com valores tabelados usados em provas.)
Recalque em 1 ano:S(1\\ \text{ano})=U(1)\cdot \Delta S_{\text{total}}\approx 0{,}1383\cdot 0{,}1689\\ \mathrm{m}\approx 0{,}02336\\ \mathrm{m}.Ou seja S(1\\ \text{ano})\approx 0{,}0234\\ \mathrm{m} (aprox. 23{,}4\\ \mathrm{mm}).
Passo 6
Cálculo do acréscimo de tensão efetiva no centro da argila após 2 anos (item c). Interpretação e método:
O acréscimo efetivo final no centro, quando toda a pressão de poros se dissipar, é q=47{,}5\\ \mathrm{kPa}. No decorrer do tempo parte dessa pressão de poros já foi dissipada e, portanto, parte dessa sobrecarga já passou a ser suportada por tensões efetivas.
Para uma estimativa prática em prova (e dada a falta de tabelas detalhadas sobre U local), é aceitável usar o grau médio de adensamento U(t) como aproximação da fração de q que já se transformou em tensão efetiva naquela época. Então:
(Observação: esse é um procedimento aproximado e comum em exames; soluções mais precisas usam séries para o valor local de u/u_{0} no ponto central. Aqui uso a aproximação por U médio por ser prática e compatível com o que a prova costuma pedir.)
Primeiro calcule T_{v} para t=2 anos (mesma H=10\\ \mathrm{m} e C_{v}=1{,}5):
Então o acréscimo de tensão efetiva no centro após 2 anos (aprox.):\Delta\sigma'_{\text{centro}}(2\\ \text{anos})\approx U(2)\cdot q =0{,}1953\cdot 47{,}5\\ \mathrm{kPa}\approx 9{,}276\\ \mathrm{kPa}.Podemos escrever aproximadamente 9{,}28\\ \mathrm{kPa}.
Resposta
a) 0{,}169\\ \mathrm{m} \n
b) 0{,}0234\\ \mathrm{m} \n
c) 9{,}28\\ \mathrm{kPa}