( \mathbf{4 , 0} pontos) Um aterro de \mathbf{2 , 5} \mathrm{m} de altura e extensão infinita será construído sobre um terreno constituído por uma camada superior de 2,0 \mathrm{~m} de areia grossa, seguida por uma camada de argila com espessura de 10,0 \mathrm{~m}. Sob a camada de argila, existe um substrato rochoso impermeável. O nivel d’água atual encontrase numa profundidade de 1,0 \mathrm{~m} abaixo do topo da areia grossa. Dados os parâmetros na tabela abaixo e sabendo que o RPA é igual a 2, calcule:
CAMADA PARAMETROS
AREIA GROSSA DENSA SUPERIOR \gamma_{\text {nat }}=\gamma_{\text {gat }}=18 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}
ARGILA \gamma_{\text {sat }}=\gamma_{\text {nat }}=16 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}, \mathrm{C}_{\mathrm{c}}=1,8, \mathrm{C}_{\mathrm{r}}=0,1, \mathrm{e}_{\mathrm{o}}=2,8, \mathrm{C}_{\mathrm{v}}=1,5 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{ano}
ATERRO \gamma_{\text {rat }}=19 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}
AGUA \gamma_{\alpha}=10 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}
Pede-se:
a) ( 2,0 pontos) O recalque total por adensamento primário.
b) ( 1,0 ponto) Considerando que a construtora terá 1,0 ano para construir o aterro e dar início à construçāo da estrutura, qual recalque que ocorrerá neste tempo?
c) ( \mathbf{1}, \mathbf{0} ponto) Qual o acréscimo de tensảo efetiva no centro da camada de argila, após o tempo de 2 anos?

Passo 1

O enunciado pede três coisas e dá vários dados. Vou organizar direitinho o que foi pedido e o que temos:
  • Pedidos:
    a) Calcular o recalque total por adensamento primário da camada de argila (espessura 10{,}0\\ \mathrm{m}).
    b) Considerando que a construtora terá 1{,}0 ano para construir o aterro e iniciar a obra, qual o recalque ocorrido nesse tempo.
    c) Qual o acréscimo de tensão efetiva no centro da camada de argila, após 2 anos.
  • Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
    \begin{aligned} &\text{Espessuras: areia superior }2{,}0\\ \mathrm{m},\\ \text{argila }10{,}0\\ \mathrm{m}.\\\ &\text{Nível d'água: }1{,}0\\ \mathrm{m}\\ \text{abaixo do topo da areia} \\ (\text{i.e. }z_{w}=1{,}0\\ \mathrm{m}).\\\ &\gamma_{\text{areia}}=18\\ \mathrm{kN/m^{3}};\quad \gamma_{\text{argila}}=16\\ \mathrm{kN/m^{3}};\quad \gamma_{\text{aterro}}=19\\ \mathrm{kN/m^{3}};\\\ &\gamma_{w}=10\\ \mathrm{kN/m^{3}}.\\\ &\text{Parâmetros de adensamento da argila: }C_{c}=1{,}8,\\ C_{r}=0{,}1,\\ e_{0}=2{,}8,\\ C_{v}=1{,}5\\ \mathrm{m^{2}/ano}.\\\ &\text{RPA} = 2\\ (\text{interpreto como razão de pré-adensamento = OCR }=\sigma'_{p}/\sigma'_{0}=2).\\\ &\text{Aterro: altura }H_{a}=2{,}5\\ \mathrm{m}. \end{aligned}íáâãé
  • Observações importantes (relevantes para os cálculos; não vou resolver aqui, só anotar):
    • A expansão do aterro tem extensão infinita -> a sobrecarga adicional vertical é uniforme e igual a q=\gamma_{\text{aterro}}\cdot H_{a}.
    • A argila está saturada (camada inteira abaixo do nível d’água? O topo da argila está em z=2{,}0\\ \mathrm{m}, e o nível d’água está em z=1{,}0\\ \mathrm{m}; portanto a argila está saturada e drenará para cima, pois a base é rocha impermeável).
    • Como há substrato rochoso impermeável abaixo, a drenagem da argila será apenas para cima (drenagem simples) — isto afeta L no cálculo de T_{v}.
    • Para o cálculo de recalque por adensamento usarei a formula clássica de adensamento por compressão: \Delta S = \dfrac{H}{1+e_{0}}\times (termos de compressibilidade recompressão/virginal dependendo se ultrapassa \sigma'_{p}).
    • Interpreto RPA como OCR = 2, portanto \sigma'_{p}=2\:\sigma'_{0} em cada nível da camada (procedimento usual em questões didáticas).

Passo 2

Calcular a sobrecarga aplicada pelo aterro (tensão total adicional no topo) e os esforços verticais totais e tensões efetivas iniciais nos pontos importantes (topo, centro e base da argila). Isso é necessário para saber se o aumento de tensão atravessa a tensão de pré-adensamento e para aplicar as fórmulas de compressibilidade.
  • Sobrecarga total do aterro:
    q=\gamma_{\text{aterro}}\cdot H_{a}=19\cdot 2{,}5=47{,}5\\ \mathrm{kN/m^{2}}.
  • Escolho como referência vertical z contado a partir do topo do terreno (superfície), com areia de 0 a 2{,}0\\ \mathrm{m} e argila de 2{,}0 a 12{,}0\\ \mathrm{m}.
    • Nível d’água em z_{w}=1{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Tensão vertical total \sigma_{v} e pressão de poros u em pontos:
    • Em z=2{,}0\\ \mathrm{m} (topo da argila): \sigma_{v}(2)=2{,}0\cdot 18=36{,}0\\ \mathrm{kPa}.Profundidade abaixo do nível da água: 2{,}0-1{,}0=1{,}0\\ \mathrm{m} então u(2)=1{,}0\cdot 10=10{,}0\\ \mathrm{kPa}.Portanto tensão efetiva inicial no topo da argila: \sigma'_{0}(2)=\sigma_{v}-u=36-10=26{,}0\\ \mathrm{kPa}.
    • No centro da argila: centro em z_{\text{c}}=2{,}0+5{,}0=7{,}0\\ \mathrm{m}. \sigma_{v}(7)=\underbrace{2\cdot 18}_{\text{areia}} + \underbrace{5\cdot 16}_{\text{argila até o centro}}=36+80=116{,}0\\ \mathrm{kPa}.éPore pressure: u(7)=(7-1)\cdot 10=60{,}0\\ \mathrm{kPa}.Assim \sigma'_{0}(7)=116-60=56{,}0\\ \mathrm{kPa}.
    • No fundo da argila (em z=12{,}0\\ \mathrm{m}): \sigma_{v}(12)=2\cdot 18 + 10\cdot 16 =36+160=196{,}0\\ \mathrm{kPa},
u(12)=(12-1)\cdot 10=110{,}0\\ \mathrm{kPa},
\sigma'_{0}(12)=196-110=86{,}0\\ \mathrm{kPa}.
  • Verificação importante para o uso de C_{r} e C_{c}: \sigma'_{p}=\text{RPA}\cdot\sigma'_{0} = 2\cdot\sigma'_{0}.Para cada ponto, se \sigma'_{0}+q > \sigma'_{p} então haverá trecho de compressão virginal além da recompressão. Reescrevendo a condição: \sigma'_{0}+q > 2\sigma'_{0}\quad\Leftrightarrow\quad q>\sigma'_{0}.
    • No topo: \sigma'_{0}(2)=26{,}0<47{,}5\Rightarrow ultrapassa pré-adensamento (entra em virginal).
    • No centro: \sigma'_{0}(7)=56{,}0>47{,}5\Rightarrow neste ponto o aumento não ultrapassa \sigma'_{p} (ficará em recompressão somente).
    • No fundo: idem, recompressão somente.
Portanto parte superior da argila será comprimida até passar por pré-adensamento e entrar em compressão virginal; a parte inferior ficará apenas em recompressão.

Passo 3

Plano de cálculo do recalque total por adensamento primário (item a). Vou dividir a argila em duas zonas, seguindo a profundidade onde \sigma'_{0}(z)=q (ponto onde passa de virgin/rec). Essa divisão simplifica a integração das tensões e é prática comum em provas.
  • No intervalo da argila temos \sigma'_{0}(z)=6z+14 (ver dedução: \sigma_{v}=36+16(z-2)=16z+4, u=10(z-1)\Rightarrow\sigma'_{0}=(16z+4)-(10z-10)=6z+14).
    Resolve-se 6z+14=47{,}5\Rightarrow z=5{,}5833\\ \mathrm{m}. Esse z está dentro da argila (entre 2 e 12), logo:
    • Zona 1 (superior): z\in[2{,}0,\\\ 5{,}5833] — aqui \sigma'_{0}<q e haverá recompressão até \sigma'_{p} e compressão virginal depois.
    • Zona 2 (inferior): z\in[5{,}5833,\\\ 12{,}0] — aqui \sigma'_{0}\ge q e haverá apenas recompressão (pois q\le\sigma'_{0}).
Para facilitar contas manuais, aproximei cada zona por uma tensão efetiva média na respectiva subcamada (método clássico de subdivisão em duas blocos com média linear). Em provas isso é aceito quando se justifica.
  • Espessuras das zonas: H_{1}=5{,}5833-2{,}0=3{,}5833\\ \mathrm{m},\qquad H_{2}=12{,}0-5{,}5833=6{,}4167\\ \mathrm{m}.
  • Tensões efetivas médias (aproximação linear): \sigma'_{0,\text{média,1}}=\frac{\sigma'_{0}(2)+\sigma'_{0}(5{,}5833)}{2}=\frac{26{,}0+47{,}5}{2}=36{,}75\\ \mathrm{kPa}.é
\sigma'_{0,\text{média,2}}=\frac{\sigma'_{0}(5{,}5833)+\sigma'_{0}(12)}{2}=\frac{47{,}5+86{,}0}{2}=66{,}75\\ \mathrm{kPa}.é
  • Fórmulas de compressão por fatia (usando a fórmula clássica de adensamento com base em índices):
    • Recompressão (quando tensões finais não ultrapassam \sigma'_{p}): \Delta S_{\text{rec}}=\frac{H}{1+e_{0}}\,C_{r}\,\log_{10}\!\left(\frac{\sigma'_{f}}{\sigma'_{0}}\right).
    • Compressão virginal (quando ultrapassa pré-adensamento): \Delta S_{\text{virg}}=\frac{H}{1+e_{0}}\,C_{c}\,\log_{10}\!\left(\frac{\sigma'_{f}}{\sigma'_{p}}\right).
    Onde \sigma'_{f}=\sigma'_{0}+q é a tensão efetiva final (após dissipação) e \sigma'_{p}=2\,\sigma'_{0} (pela RPA).

Passo 4

Cálculos numéricos do recalque em cada zona (item a).
  • Constantes: e_{0}=2{,}8\quad\Rightarrow\quad 1+e_{0}=3{,}8.
q=47{,}5\\ \mathrm{kPa}.
Zona 1 (superior): H_{1}=3{,}5833\\ \mathrm{m}, \sigma'_{0,\text{avg}}=36{,}75\\ \mathrm{kPa}.
  • \sigma'_{p}=2\cdot 36{,}75=73{,}5\\ \mathrm{kPa}.
  • \sigma'_{f}=\sigma'_{0}+q=36{,}75+47{,}5=84{,}25\\ \mathrm{kPa}.
  • Recompressão (de \sigma'_{0} até \sigma'_{p}): \Delta S_{\text{rec,1}}=\frac{H_{1}}{1+e_{0}}\,C_{r}\,\log_{10}\!\left(\frac{\sigma'_{p}}{\sigma'_{0}}\right) =\frac{3{,}5833}{3{,}8}\cdot 0{,}1\cdot \log_{10}(2).
\log_{10}(2)=0{,}30103\quad\Rightarrow\quad \Delta S_{\text{rec,1}}=\frac{3{,}5833}{3{,}8}\cdot 0{,}1\cdot 0{,}30103 \approx 0{,}9435\cdot 0{,}030103 \approx 0{,}0284\\ \mathrm{m}.
  • Compressão virginal (de \sigma'_{p} até \sigma'_{f}): \Delta S_{\text{virg,1}}=\frac{H_{1}}{1+e_{0}}\,C_{c}\,\log_{10}\!\left(\frac{\sigma'_{f}}{\sigma'_{p}}\right) =\frac{3{,}5833}{3{,}8}\cdot 1{,}8\cdot \log_{10}\!\left(\frac{84{,}25}{73{,}5}\right).Calcule o logaritmo: \frac{84{,}25}{73{,}5}=1{,}1456\quad\Rightarrow\quad \log_{10}(1{,}1456)\approx 0{,}05954.Logo \Delta S_{\text{virg,1}}\approx 0{,}9435\cdot 1{,}8\cdot 0{,}05954 =0{,}9435\cdot 0{,}10717\approx 0{,}1011\\ \mathrm{m}.
  • Total Zona 1: \Delta S_{1}=\Delta S_{\text{rec,1}}+\Delta S_{\text{virg,1}}\approx 0{,}0284+0{,}1011=0{,}1295\\ \mathrm{m}.
Zona 2 (inferior): H_{2}=6{,}4167\\ \mathrm{m}, \sigma'_{0,\text{avg}}=66{,}75\\ \mathrm{kPa}.
  • Aqui não ultrapassa pré-adensamento, portanto só recompressão de \sigma'_{0} até \sigma'_{0}+q: \Delta S_{2}=\frac{H_{2}}{1+e_{0}}\,C_{r}\,\log_{10}\!\left(\frac{\sigma'_{0}+q}{\sigma'_{0}}\right) =\frac{6{,}4167}{3{,}8}\cdot 0{,}1\cdot \log_{10}\!\left(1+\frac{47{,}5}{66{,}75}\right).Calcule: 1+\frac{47{,}5}{66{,}75}=1{,}7113\quad\Rightarrow\quad \log_{10}(1{,}7113)\approx 0{,}2335.
\frac{6{,}4167}{3{,}8}=1{,}6876\quad\Rightarrow\quad \Delta S_{2}\approx 1{,}6876\cdot 0{,}1\cdot 0{,}2335 =1{,}6876\cdot 0{,}02335\approx 0{,}0394\\ \mathrm{m}.
  • Recalque total por adensamento primário: \Delta S_{\text{total}}=\Delta S_{1}+\Delta S_{2}\approx 0{,}1295+0{,}0394=0{,}1689\\ \mathrm{m}.Arredondando de forma prática para prova: \Delta S_{\text{total}}\approx 0{,}169\\ \mathrm{m} (ou 169\\ \mathrm{mm}).

Passo 5

Cálculo do recalque ocorrido em t=1{,}0 ano (item b). Procedimento:
  • Para saber quanto do recalque total já ocorreu em t, calculamos o grau de adensamento médio U(t) e multiplicamos pelo recalque total: S(t)=U(t)\cdot \Delta S_{\text{total}}.
  • Como a base é impermeável, a argila drena apenas para cima (drenagem simples). Para drenagem simples o comprimento de escoamento adotado em T_{v} é H (espessura da camada). Assim: T_{v}=\frac{C_{v}\,t}{H^{2}}=\frac{1{,}5\cdot 1{,}0}{10^{2}}=\frac{1{,}5}{100}=0{,}015.
  • Para valores pequenos de T_{v} é prática comum usar a aproximação de Taylor (válida para início do processo): U(t)\approx \frac{2}{\sqrt{\pi}}\,\sqrt{T_{v}}.(Essa aproximação dá o grau médio de adensamento para T_{v} pequeno e coincide com valores tabelados usados em provas.)
  • Calculando: \sqrt{T_{v}}=\sqrt{0{,}015}=0{,}12247,\qquad \frac{2}{\sqrt{\pi}}=1{,}12838.
U(1\\ \text{ano})\approx 1{,}12838\cdot 0{,}12247\approx 0{,}1383\\ (\text{ou }13{,}83\%).
  • Recalque em 1 ano: S(1\\ \text{ano})=U(1)\cdot \Delta S_{\text{total}}\approx 0{,}1383\cdot 0{,}1689\\ \mathrm{m}\approx 0{,}02336\\ \mathrm{m}.Ou seja S(1\\ \text{ano})\approx 0{,}0234\\ \mathrm{m} (aprox. 23{,}4\\ \mathrm{mm}).

Passo 6

Cálculo do acréscimo de tensão efetiva no centro da argila após 2 anos (item c). Interpretação e método:
  • O acréscimo efetivo final no centro, quando toda a pressão de poros se dissipar, é q=47{,}5\\ \mathrm{kPa}. No decorrer do tempo parte dessa pressão de poros já foi dissipada e, portanto, parte dessa sobrecarga já passou a ser suportada por tensões efetivas.
  • Para uma estimativa prática em prova (e dada a falta de tabelas detalhadas sobre U local), é aceitável usar o grau médio de adensamento U(t) como aproximação da fração de q que já se transformou em tensão efetiva naquela época. Então:
    \Delta\sigma'_{\text{centro}}(t)\approx U(t)\cdot q.
    (Observação: esse é um procedimento aproximado e comum em exames; soluções mais precisas usam séries para o valor local de u/u_{0} no ponto central. Aqui uso a aproximação por U médio por ser prática e compatível com o que a prova costuma pedir.)
  • Primeiro calcule T_{v} para t=2 anos (mesma H=10\\ \mathrm{m} e C_{v}=1{,}5):
    T_{v}=\frac{1{,}5\cdot 2}{10^{2}}=\frac{3}{100}=0{,}03.
  • Usando a mesma aproximação de Taylor:
    U(2\\ \text{anos})\approx \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sqrt{0{,}03}.
\sqrt{0{,}03}=0{,}17321\quad\Rightarrow\quad U(2)\approx 1{,}12838\cdot 0{,}17321\approx 0{,}1953\\ (\text{ou }19{,}53\%).
  • Então o acréscimo de tensão efetiva no centro após 2 anos (aprox.): \Delta\sigma'_{\text{centro}}(2\\ \text{anos})\approx U(2)\cdot q =0{,}1953\cdot 47{,}5\\ \mathrm{kPa}\approx 9{,}276\\ \mathrm{kPa}.Podemos escrever aproximadamente 9{,}28\\ \mathrm{kPa}.

Resposta

a) 0{,}169\\ \mathrm{m} \n
b) 0{,}0234\\ \mathrm{m} \n
c) 9{,}28\\ \mathrm{kPa}

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