Resolva as seguintes equações:
30. y^{\prime}=\frac{x+2 y}{x}

Passo 1

Enunciado: resolver a equação diferencial
y'=\frac{x+2y}{x}.
O que o problema pede: encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa equação. Informações dadas: a derivada y' está expressa em função de x e y. Observação importante: a expressão tem divisão por x, logo devemos ter x\neq 0 no domínio onde a solução será válida.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: simplificar o lado direito para deixar a equação em uma forma mais clara. Dividindo os termos por x temos
y'=\frac{x}{x}+\frac{2y}{x}=1+\frac{2y}{x}.
Colocando todos os termos com y do mesmo lado, obtemos a forma
y'-\frac{2}{x}y=1.
Essa é uma equação onde aparece y' e um termo proporcional a y; vamos manipular usando uma técnica que transforma o lado esquerdo numa derivada de produto (isso facilita a integração).

Passo 3

Explicação da técnica (fórmula do fator integrante): para uma equação da forma
y'+P(x)\,y=Q(x)
define-se o fator integrante \mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right). Multiplicando a equação por \mu(x) o lado esquerdo se torna \dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big). No nosso caso temos P(x)=-\dfrac{2}{x}. Calculamos o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\frac{2}{x}\,dx\right)=\exp\!\big(-2\ln|x|\big)=|x|^{-2}.
Como trabalhamos em intervalos onde x\neq 0, podemos escolher \mu(x)=x^{-2} (o sinal absoluto só indica que a expressão vale em ambos os ramos, positivos e negativos).

Passo 4

Multiplicamos a equação por \mu(x)=x^{-2}. Isso dá
x^{-2}y'-2x^{-3}y=x^{-2}.
Agora verificamos que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x^{-2}y. De fato,
\frac{d}{dx}\big(x^{-2}y\big)=x^{-2}y'+y\cdot\frac{d}{dx}(x^{-2})=x^{-2}y'+y\cdot(-2x^{-3})=x^{-2}y'-2x^{-3}y.
Portanto a equação fica
\frac{d}{dx}\big(x^{-2}y\big)=x^{-2}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(x^{-2}y\big)\,dx=\int x^{-2}\,dx.
O lado esquerdo integra para x^{-2}y. Para o lado direito, lembrando que x^{-2}=x^{-2}, temos
\int x^{-2}\,dx=\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-x^{-1}+C,
onde C é a constante de integração. Assim:
x^{-2}y=-x^{-1}+C.

Passo 6

Isolamos y multiplicando por x^{2}:
y=x^{2}\big(-x^{-1}+C\big)=-x+Cx^{2}.
Portanto a solução geral é
y(x)=-x+Cx^{2},
com C constante arbitrária e válida para x\neq 0.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): calcule y'=-1+2Cx. Substituindo na expressão original:
\frac{x+2y}{x}=\frac{x+2(-x+Cx^{2})}{x}=\frac{x-2x+2Cx^{2}}{x}=-1+2Cx,
que coincide com y'. Logo a solução está correta.

Resposta

y(x)=-x+Cx^{2},\;C\in\mathbb{R},\;x\neq 0

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