Resolva as seguintes equações:
30.
30.
Passo 1
Enunciado: resolver a equação diferencial
O que o problema pede: encontrar a solução geral
que satisfaça essa equação. Informações dadas: a derivada
está expressa em função de
e
. Observação importante: a expressão tem divisão por
, logo devemos ter
no domínio onde a solução será válida.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: simplificar o lado direito para deixar a equação em uma forma mais clara. Dividindo os termos por
temos
Colocando todos os termos com
do mesmo lado, obtemos a forma
Essa é uma equação onde aparece
e um termo proporcional a
; vamos manipular usando uma técnica que transforma o lado esquerdo numa derivada de produto (isso facilita a integração).
Passo 3
Explicação da técnica (fórmula do fator integrante): para uma equação da forma
define-se o fator integrante
. Multiplicando a equação por
o lado esquerdo se torna
. No nosso caso temos
. Calculamos o fator integrante:
Como trabalhamos em intervalos onde
, podemos escolher
(o sinal absoluto só indica que a expressão vale em ambos os ramos, positivos e negativos).
Passo 4
Multiplicamos a equação por
. Isso dá
Agora verificamos que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. De fato,
Portanto a equação fica
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra para
. Para o lado direito, lembrando que
, temos
onde
é a constante de integração. Assim:
Passo 6
Isolamos
multiplicando por
:
Portanto a solução geral é
com
constante arbitrária e válida para
.
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança): calcule
. Substituindo na expressão original:
que coincide com
. Logo a solução está correta.