Resolva as seguintes equações:
32. y^{\prime}=\frac{y^{2}}{x y+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'=\frac{y^{2}}{x y+y^{2}}.
Informações e observações iniciais fornecidas pelo enunciado:
  • A equação está escrita na forma \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^{2}}{x y+y^{2}}.
  • No denominador aparece x y+y^{2}=y(x+y), portanto há pontos onde a expressão do lado direito fica indefinida: quando y=0 ou quando x+y=0.
  • A resolução deve obter a família geral de soluções (quando ela existe) e tratar as restrições decorrentes do denominador.

Passo 2

Simplificação quando possível. Se y\neq0 podemos simplificar o denominador x y+y^{2}=y(x+y) e obter
\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}}{y(x+y)}=\frac{y}{x+y},
portanto, a equação reduz-se para
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x+y},\qquad y\neq0.
Nota: essa simplificação é válida apenas enquanto y\neq0 e x+y\neq0; vamos trabalhar nessas regiões e depois comentar as exceções.

Passo 3

Reconhecendo a forma da equação. Observe que a função do lado direito depende apenas da razão y/x:
\frac{y}{x+y}=\frac{\frac{y}{x}}{1+\frac{y}{x}}.
Isso sugere a substituição clássica para equações homogêneas: definir
v=\frac{y}{x}\quad\Rightarrow\quad y=vx.
Explico por que: quando a razão y/x aparece naturalmente, trocar para v reduz a equação para uma que separa v e x. Além disso, com y=vx temos que v é função de x.

Passo 4

Derivada de y em termos de v e x. Diferenciando y=vx em relação a x (usando regra do produto) dá
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Substituímos na equação simplificada \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{x+y}. Usando y=vx obtemos o lado direito:
\frac{y}{x+y}=\frac{vx}{x+vx}=\frac{v}{1+v}.
Portanto a equação para v fica
v+x\frac{dv}{dx}=\frac{v}{1+v}.

Passo 5

Isolando \dfrac{dv}{dx}. Subtraindo v dos dois lados:
x\frac{dv}{dx}=\frac{v}{1+v}-v.
Calcule o lado direito com denominador comum:
\frac{v}{1+v}-v=\frac{v - v(1+v)}{1+v}=\frac{v - v - v^{2}}{1+v}=-\frac{v^{2}}{1+v}.
Logo
x\frac{dv}{dx}=-\frac{v^{2}}{1+v}.

Passo 6

Separação de variáveis. Reescrevemos para separar v e x:
\frac{1+v}{v^{2}}\,dv=-\frac{dx}{x}.
Aqui usei álgebra para colocar todos os termos com v do lado esquerdo e os termos com x do lado direito. Note que \dfrac{1+v}{v^{2}}=\dfrac{1}{v^{2}}+\dfrac{1}{v}.

Passo 7

Integramos ambos os lados. Integrando em v e em x:
\int\left(\frac{1}{v^{2}}+\frac{1}{v}\right)dv=\int -\frac{dx}{x}.
Calcule cada integral passo a passo:
  • \displaystyle \int \frac{1}{v^{2}}\,dv=\int v^{-2}\,dv=-v^{-1}=-\frac{1}{v}.
  • \displaystyle \int \frac{1}{v}\,dv=\ln|v|.
  • \displaystyle \int -\frac{dx}{x}=-\ln|x|.
    Somando os termos do lado esquerdo temos
-\frac{1}{v}+\ln|v|=-\ln|x|+C,
onde C é constante de integração.

Passo 8

Volta à variável y. Lembrando que v=\dfrac{y}{x}, temos \dfrac{1}{v}=\dfrac{x}{y}. Substituindo:
-\frac{x}{y}+\ln\left|\frac{y}{x}\right|=-\ln|x|+C.
Podemos simplificar o termo logarítmico usando \ln\left|\dfrac{y}{x}\right|=\ln|y|-\ln|x|. Substituindo isso:
-\frac{x}{y}+\ln|y|-\ln|x|=-\ln|x|+C.
Os termos -\ln|x| aparecem dos dois lados e cancelam, sobrando
-\frac{x}{y}+\ln|y|=C.
Reescrevendo de forma mais agradável:
\ln|y|-\frac{x}{y}=C,
onde C\in\mathbb{R} é constante arbitrária.

Passo 9

Interpretação e restrições. A solução implicitamente dada por
\ln|y|-\frac{x}{y}=C
é válida nas regiões onde as manipulações foram permitidas, ou seja:
  • y\neq0 (para simplificar e para não dividir por y),
  • x\neq0 foi usado ao definir v=y/x; no entanto a forma final pode às vezes ser extendida por continuidade, mas rigorosamente a dedução pediu x\neq0,
  • além disso, evitamos pontos onde x+y=0 porque ali o lado original é indefinido.
Sobre soluções constantes especiais: y\equiv0 não é solução válida para a equação original porque para y=0 o lado direito \dfrac{y^{2}}{x y+y^{2}} fica na forma \dfrac{0}{0} (indeterminação) e, portanto, a equação não está definida para essa função. Da mesma forma y=-x anula o denominador original, então não é solução.

Resposta

\displaystyle \ln|y|-\frac{x}{y}=C,\; C\in\mathbb{R}

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