Resolva as seguintes equações:
32. y^{\prime}=\frac{y^{2}}{x y+y^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'=\frac{y^{2}}{x y+y^{2}}.
Informações e observações iniciais fornecidas pelo enunciado:
A equação está escrita na forma \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^{2}}{x y+y^{2}}.
No denominador aparece x y+y^{2}=y(x+y), portanto há pontos onde a expressão do lado direito fica indefinida: quando y=0 ou quando x+y=0.
A resolução deve obter a família geral de soluções (quando ela existe) e tratar as restrições decorrentes do denominador.
Passo 2
Simplificação quando possível. Se y\neq0 podemos simplificar o denominador x y+y^{2}=y(x+y) e obter
\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}}{y(x+y)}=\frac{y}{x+y},
portanto, a equação reduz-se para
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x+y},\qquad y\neq0.
Nota: essa simplificação é válida apenas enquanto y\neq0 e x+y\neq0; vamos trabalhar nessas regiões e depois comentar as exceções.
Passo 3
Reconhecendo a forma da equação. Observe que a função do lado direito depende apenas da razão y/x:
\frac{y}{x+y}=\frac{\frac{y}{x}}{1+\frac{y}{x}}.
Isso sugere a substituição clássica para equações homogêneas: definir
v=\frac{y}{x}\quad\Rightarrow\quad y=vx.
Explico por que: quando a razão y/x aparece naturalmente, trocar para v reduz a equação para uma que separa v e x. Além disso, com y=vx temos que v é função de x.
Passo 4
Derivada de y em termos de v e x. Diferenciando y=vx em relação a x (usando regra do produto) dá
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Substituímos na equação simplificada \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{x+y}. Usando y=vx obtemos o lado direito:
\frac{y}{x+y}=\frac{vx}{x+vx}=\frac{v}{1+v}.
Portanto a equação para v fica
v+x\frac{dv}{dx}=\frac{v}{1+v}.
Passo 5
Isolando \dfrac{dv}{dx}. Subtraindo v dos dois lados:
x\frac{dv}{dx}=\frac{v}{1+v}-v.
Calcule o lado direito com denominador comum:
\frac{v}{1+v}-v=\frac{v - v(1+v)}{1+v}=\frac{v - v - v^{2}}{1+v}=-\frac{v^{2}}{1+v}.
Logo
x\frac{dv}{dx}=-\frac{v^{2}}{1+v}.
Passo 6
Separação de variáveis. Reescrevemos para separar v e x:
\frac{1+v}{v^{2}}\,dv=-\frac{dx}{x}.
Aqui usei álgebra para colocar todos os termos com v do lado esquerdo e os termos com x do lado direito. Note que \dfrac{1+v}{v^{2}}=\dfrac{1}{v^{2}}+\dfrac{1}{v}.
Passo 7
Integramos ambos os lados. Integrando em v e em x:
Podemos simplificar o termo logarítmico usando \ln\left|\dfrac{y}{x}\right|=\ln|y|-\ln|x|. Substituindo isso:
-\frac{x}{y}+\ln|y|-\ln|x|=-\ln|x|+C.
Os termos -\ln|x| aparecem dos dois lados e cancelam, sobrando
-\frac{x}{y}+\ln|y|=C.
Reescrevendo de forma mais agradável:
\ln|y|-\frac{x}{y}=C,
onde C\in\mathbb{R} é constante arbitrária.
Passo 9
Interpretação e restrições. A solução implicitamente dada por
\ln|y|-\frac{x}{y}=C
é válida nas regiões onde as manipulações foram permitidas, ou seja:
y\neq0 (para simplificar e para não dividir por y),
x\neq0 foi usado ao definir v=y/x; no entanto a forma final pode às vezes ser extendida por continuidade, mas rigorosamente a dedução pediu x\neq0,
além disso, evitamos pontos onde x+y=0 porque ali o lado original é indefinido.
Sobre soluções constantes especiais: y\equiv0 não é solução válida para a equação original porque para y=0 o lado direito \dfrac{y^{2}}{x y+y^{2}} fica na forma \dfrac{0}{0} (indeterminação) e, portanto, a equação não está definida para essa função. Da mesma forma y=-x anula o denominador original, então não é solução.