Resolva as seguintes equações diferenciais fundamentais
\frac{d \theta}{d t}=t^{2}+\cos 3 t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d\theta}{dt}=t^{2}+\cos 3t
e pede para encontrar a solução geral \theta(t).
Informações relevantes:
  • A derivada \dfrac{d\theta}{dt} está expressa explicitamente em função de t.
  • Não foi dada condição inicial, então devemos apresentar a solução geral com constante de integração.

Passo 2

Observação sobre o método: quando uma equação tem a forma
\frac{d\theta}{dt}=f(t)
essa ODE diz que a derivada de \theta é uma função conhecida de t. Para recuperar \theta(t) basta integrar ambos os lados em relação a t. Em termos práticos:
\theta(t)=\int f(t)\,dt + C,
onde C é a constante de integração. Aqui f(t)=t^{2}+\cos 3t.

Passo 3

Integramos termo a termo. Primeiro a regra das potências para integrais: para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando com n=2,
\int t^{2}\,dt=\frac{t^{3}}{3}.

Passo 4

Agora a integral de \cos 3t. Usamos substituição simples: seja u=3t. Então du=3\,dt ou dt=\dfrac{du}{3}. Assim
\int \cos 3t\,dt=\int \cos u\cdot\frac{du}{3}=\frac{1}{3}\int \cos u\,du=\frac{1}{3}\sin u+\tilde{C}=\frac{1}{3}\sin 3t+\tilde{C}.
(As constantes \tilde{C} e a que aparece na soma final serão combinadas numa única constante.)

Passo 5

Somando as integrais dos dois termos e colocando uma única constante de integração C, obtemos a solução geral:
\theta(t)=\frac{t^{3}}{3}+\frac{1}{3}\sin 3t+C.

Passo 6

Verificação rápida (checar sempre que der insegurança): derivando a solução obtida,
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{t^{3}}{3}+\frac{1}{3}\sin 3t+C\right)=t^{2}+\frac{1}{3}\cdot 3\cos 3t+0=t^{2}+\cos 3t,
que coincide com o lado direito da equação dada. Está correto.

Resposta

\theta(t)=\dfrac{t^{3}}{3}+\dfrac{1}{3}\sin 3t+C

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