Resolva as seguintes equações diferenciais fundamentais
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para encontrar a solução geral
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A derivada
está expressa explicitamente em função de . - Não foi dada condição inicial, então devemos apresentar a solução geral com constante de integração.
Passo 2
Observação sobre o método: quando uma equação tem a forma
essa ODE diz que a derivada de
é uma função conhecida de
. Para recuperar
basta integrar ambos os lados em relação a
. Em termos práticos:
onde
é a constante de integração. Aqui
.
Passo 3
Integramos termo a termo. Primeiro a regra das potências para integrais: para
,
Aplicando com
,
Passo 4
Agora a integral de
. Usamos substituição simples: seja
. Então
ou
. Assim
(As constantes
e a que aparece na soma final serão combinadas numa única constante.)
Passo 5
Somando as integrais dos dois termos e colocando uma única constante de integração
, obtemos a solução geral:
Passo 6
Verificação rápida (checar sempre que der insegurança): derivando a solução obtida,
que coincide com o lado direito da equação dada. Está correto.