Resolva as seguintes equações diferenciais fundamentais
\frac{d x}{d y}=y^{2}+e^{y}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
  • Enunciado: a equação diferencial é \dfrac{d x}{d y}=y^{2}+e^{y}.
  • Variáveis: x é a função incógnita dependente de y; y é a variável independente.
  • Informação dada: a derivada de x em relação a y é uma função explícita de y (igual a y^{2}+e^{y}).
  • O que o exercício pede: encontrar a família de soluções x(y) (não foi fornecida condição inicial, então espera-se a solução geral, com constante de integração).

Passo 2

Identificar o método apropriado e por quê (explicação didática e escolha do método).
  • Observação chave: o lado direito da equação depende somente de y, ou seja \dfrac{d x}{d y}=g(y) com g(y)=y^{2}+e^{y}.
  • Quando uma equação tem a forma \dfrac{d x}{d y}=g(y), o procedimento padrão é integrar ambos os lados em relação a y. Isso porque integração é a operação inversa da diferenciação: se \dfrac{d x}{d y}=g(y) então qualquer primitiva (antiderivada) de g(y) em y dará x(y) até uma constante.
  • Em linguagem prática de prova: aplicar \displaystyle x(y)=\int \bigl(y^{2}+e^{y}\bigr)\,dy + C, onde C é a constante de integração.

Passo 3

Calcular as integrais termo a termo e explicar detalhadamente cada uma.
  • Regra usada: a integral de soma é a soma das integrais:
\int\bigl(y^{2}+e^{y}\bigr)\,dy=\int y^{2}\,dy+\int e^{y}\,dy.
  • Integral do polinômio y^{2}:
    • Regra geral: \displaystyle \int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1. Aqui n=2.
    • Aplicando: \displaystyle \int y^{2}\,dy=\frac{y^{3}}{3}.
  • Integral da exponencial e^{y}:
    • Fato importante: a função e^{y} é a única que é igual à sua própria derivada; por isso sua primitiva é ela mesma.
    • Aplicando: \displaystyle \int e^{y}\,dy=e^{y}.
  • Somando as primitivas e adicionando a constante de integração C:
x(y)=\frac{y^{3}}{3}+e^{y}+C,
onde C é uma constante real arbitrária que representa a família geral de soluções.

Passo 4

Verificação rápida (como checar durante a prova) e comentários práticos.
  • Diferenciando a solução obtida para verificar:
    • Calcular \dfrac{d}{dy}\!\left(\dfrac{y^{3}}{3}+e^{y}+C\right).
    • Usando regras de derivação: \dfrac{d}{dy}\!\left(\dfrac{y^{3}}{3}\right)=y^{2}, \dfrac{d}{dy}(e^{y})=e^{y}, e \dfrac{d}{dy}\text{(C)}=0.
    • Soma: y^{2}+e^{y}, que coincide com o lado direito original — solução verificada.
  • Dica de prova: sempre escreva a constante C ao integrar se não houver condição inicial; se houver uma condição do tipo x(y_{0})=x_{0}, substitua para encontrar C.
  • Exemplo rápido extra para fixar: se fosse \dfrac{dx}{dy}=3y^{2}, integrar daria x(y)=y^{3}+C (aplicando a mesma regra \int y^{2}\,dy=\tfrac{y^{3}}{3} e multiplicando por 3).

Passo 5

Resumo do procedimento para usar na prova (passos objetivamente aplicáveis):
  • Identificar se a equação está na forma \dfrac{dx}{dy}=g(y).
  • Integrar g(y) em relação a y.
  • Escrever +C e, se houver condição inicial, determinar C.
  • Verificar diferenciando a solução obtida.

Resposta

x(y)=\dfrac{y^{3}}{3}+e^{y}+C

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