Resolva as seguintes equações diferenciais fundamentais
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
- Enunciado: a equação diferencial é
. - Variáveis:
é a função incógnita dependente de ; é a variável independente. - Informação dada: a derivada de
em relação a é uma função explícita de (igual a ). - O que o exercício pede: encontrar a família de soluções
(não foi fornecida condição inicial, então espera-se a solução geral, com constante de integração).
Passo 2
Identificar o método apropriado e por quê (explicação didática e escolha do método).
- Observação chave: o lado direito da equação depende somente de
, ou seja com . - Quando uma equação tem a forma
, o procedimento padrão é integrar ambos os lados em relação a . Isso porque integração é a operação inversa da diferenciação: se então qualquer primitiva (antiderivada) de em dará até uma constante. - Em linguagem prática de prova: aplicar
, onde é a constante de integração.
Passo 3
Calcular as integrais termo a termo e explicar detalhadamente cada uma.
- Regra usada: a integral de soma é a soma das integrais:
-
Integral do polinômio
: - Regra geral:
para . Aqui . - Aplicando:
.
- Regra geral:
-
Integral da exponencial
: - Fato importante: a função
é a única que é igual à sua própria derivada; por isso sua primitiva é ela mesma. - Aplicando:
.
- Fato importante: a função
-
Somando as primitivas e adicionando a constante de integração
:
onde
é uma constante real arbitrária que representa a família geral de soluções.
Passo 4
Verificação rápida (como checar durante a prova) e comentários práticos.
- Diferenciando a solução obtida para verificar:
- Calcular
. - Usando regras de derivação:
, , e . - Soma:
, que coincide com o lado direito original — solução verificada.
- Calcular
- Dica de prova: sempre escreva a constante
ao integrar se não houver condição inicial; se houver uma condição do tipo , substitua para encontrar . - Exemplo rápido extra para fixar: se fosse
, integrar daria (aplicando a mesma regra e multiplicando por ).
Passo 5
Resumo do procedimento para usar na prova (passos objetivamente aplicáveis):
- Identificar se a equação está na forma
. - Integrar
em relação a . - Escrever
e, se houver condição inicial, determinar . - Verificar diferenciando a solução obtida.