Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método de separação de variáveis:
x y^prime=2 raizy-1
R. y=(ln |x|+C)^2+1 e y(x) equiv 1

Passo 1

Temos a EDO de primeira ordem
xdydx=2raizy-1
que é separável. Vamos usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral e também verificar se existe alguma solução constante.

Passo 2

Primeiro, escrevemos dy/dx isolado:
dydx=2xraizy-1

Passo 3

Em seguida, separamos as variáveis levando todos os termos envolvendo y para um lado e os de x para o outro:
dyraizy-1=2x,dx

Passo 4

Agora integramos ambos os lados. No lado esquerdo usamos u=y-1, logo du=dy e integral u^-1/2du=2u^1/2. No direito, integral2x^-1dx=2ln|x|+C:
integraldyraizy-1=integral2x,dx
2raizy-1=2ln|x|+C

Passo 5

Dividindo por 2 e renomeando C/2 como constante genérica C, temos:
raizy-1=ln|x|+C
Elevando ao quadrado:
y-1=(ln|x|+C)^2
Portanto
y=(ln|x|+C)^2+1

Passo 6

Finalmente, observamos que ao separar dividimos por raizy-1, perdendo possivelmente a solução y-1=0. Testando y(x)equiv1 na equação original:
xcdot0=2raiz0
fica uma identidade, logo yequiv1 também é solução.

Resposta

As soluções são
y(x)=(ln|x|+C)^2+1
e a solução constante
y(x)equiv1.

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