Resolva as seguintes equações diferenciais de
ordem.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede a solução geral
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação é dada para
em que a expressão faz sentido (note que há divisão por , portanto inicialmente). - A incógnita é a função
e . - Queremos a solução geral (com constante arbitrária).
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de 1ª ordem: escrever
isolado e organizar termos para ter a forma
Partindo da equação dada:
faço a divisão por
nos termos do numerador:
Agora coloco tudo no formato pedido:
Passo 3
Explicação didática do método que vamos usar (fácil e direto): essa é uma equação linear de primeira ordem. A técnica padrão é multiplicar a equação por um fator integrante
tal que o lado esquerdo se torne a derivada do produto
. O fator integrante é dado por
onde
é o coeficiente de
na forma padrão
.
Aqui
. Vou calcular
.
Passo 4
Calcular o fator integrante:
Usando
. Como
e
, podemos escolher
(o sinal não importa porque é elevado ao quadrado). Logo
Passo 5
Multiplicar toda a equação padrão por
. A equação
multiplicada por
fica
Reconhece-se no lado esquerdo a derivada do produto
, porque pelo produto a derivada é
Portanto a equação pode ser escrita como
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra diretamente para
. No lado direito a integral de
é
, então
onde
é a constante de integração (constante arbitrária real).
Passo 7
Isolar
dividindo por
:
Portanto a solução geral é
com
e
.
Passo 8
Verificação rápida (útil para a prova): calcular
a partir da solução e conferir que satisfaz a equação original.
Da solução
temos
Agora calcular o lado direito original
:
que coincide com
. Então a solução está correta.
Passo 9
Observações finais e domínio:
- A solução geral é válida para
(onde a equação original está definida). - A constante
é arbitrária e determina a família de curvas solução.