Resolva as seguintes equações diferenciais de 1{ }^{\text {a }} ordem.
y^{\prime}=\frac{x^{3}-2 y}{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y'=\frac{x^{3}-2y}{x}
e pede a solução geral y(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é dada para x em que a expressão faz sentido (note que há divisão por x, portanto x\neq0 inicialmente).
  • A incógnita é a função y(x) e y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • Queremos a solução geral (com constante arbitrária).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de 1ª ordem: escrever \dfrac{dy}{dx} isolado e organizar termos para ter a forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
Partindo da equação dada:
y'=\frac{x^{3}-2y}{x}
faço a divisão por x nos termos do numerador:
y'=\frac{x^{3}}{x}-\frac{2y}{x}=x^{2}-\frac{2}{x}y.
Agora coloco tudo no formato pedido:
\frac{dy}{dx}+\frac{2}{x}\,y = x^{2}.

Passo 3

Explicação didática do método que vamos usar (fácil e direto): essa é uma equação linear de primeira ordem. A técnica padrão é multiplicar a equação por um fator integrante \mu(x) tal que o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)\,y. O fator integrante é dado por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right),
onde P(x) é o coeficiente de y na forma padrão \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x).
Aqui P(x)=\dfrac{2}{x}. Vou calcular \mu(x).

Passo 4

Calcular o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{2}{x}\,dx\right)=\exp\!\left(2\ln|x|\right).
Usando \exp(2\ln|x|)=|x|^{2}. Como x\neq0 e x^{2}=(|x|)^{2}, podemos escolher \mu(x)=x^{2} (o sinal não importa porque é elevado ao quadrado). Logo
\mu(x)=x^{2}.

Passo 5

Multiplicar toda a equação padrão por \mu(x)=x^{2}. A equação
\frac{dy}{dx}+\frac{2}{x}y = x^{2}
multiplicada por x^{2} fica
x^{2}\frac{dy}{dx}+2x\,y = x^{4}.
Reconhece-se no lado esquerdo a derivada do produto x^{2}y, porque pelo produto a derivada é
\frac{d}{dx}(x^{2}y)=x^{2}\frac{dy}{dx}+2x\,y.
Portanto a equação pode ser escrita como
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y\bigr)=x^{4}.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y\bigr)\,dx = \int x^{4}\,dx.
O lado esquerdo integra diretamente para x^{2}y. No lado direito a integral de x^{4} é \dfrac{x^{5}}{5}, então
x^{2}y=\frac{x^{5}}{5}+C,
onde C é a constante de integração (constante arbitrária real).

Passo 7

Isolar y dividindo por x^{2}:
y=\frac{x^{5}}{5x^{2}}+\frac{C}{x^{2}}=\frac{x^{3}}{5}+\frac{C}{x^{2}}.
Portanto a solução geral é
y(x)=\frac{1}{5}x^{3}+C x^{-2},
com C\in\mathbb{R} e x\neq0.

Passo 8

Verificação rápida (útil para a prova): calcular y' a partir da solução e conferir que satisfaz a equação original.
Da solução
y(x)=\frac{1}{5}x^{3}+C x^{-2}
temos
\frac{dy}{dx}= \frac{3}{5}x^{2}-2C x^{-3}.
Agora calcular o lado direito original \dfrac{x^{3}-2y}{x}:
\frac{x^{3}-2y}{x}=x^{2}-\frac{2}{x}\Bigl(\frac{1}{5}x^{3}+C x^{-2}\Bigr) = x^{2}-\frac{2}{5}x^{2}-2C x^{-3} = \frac{3}{5}x^{2}-2C x^{-3},
que coincide com y'. Então a solução está correta.

Passo 9

Observações finais e domínio:
  • A solução geral é válida para x\neq0 (onde a equação original está definida).
  • A constante C é arbitrária e determina a família de curvas solução.

Resposta

y(x)=\frac{1}{5}x^{3}+\frac{C}{x^{2}},\qquad C\in\mathbb{R},\; x\neq0.

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