Resolva as seguintes equações diferenciais de 1{ }^{\text {a }} ordem.
x y^{\prime}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
x\,y'=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
e pede resolver (achar a família de soluções). Informações relevantes:
  • A incógnita é y=y(x) e y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • A equação envolve raiz de x^{2}+y^{2}, então devemos tomar cuidado com o sinal de x (aparece |x| ao extrair fatores).
  • x=0 é ponto singular da equação (pois o lado esquerdo tem fator x), logo as soluções serão buscadas em intervalos onde x\neq 0 (isto é, x>0 e x<0 separadamente).
    O objetivo é encontrar a solução geral (implícita ou explícita) válida em cada intervalo onde x tem sinal fixo.

Passo 2

Vamos tentar a substituição padrão para problemas com x e y aparecendo somente por meio da razão y/x: definir
v=\frac{y}{x}\quad\Rightarrow\quad y=vx.
Diferenciando y=vx em relação a x obtemos
y' = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação original:
x\big(v + x\frac{dv}{dx}\big)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{x^{2}+v^{2}x^{2}}=\lvert x\rvert\sqrt{1+v^{2}}.
Como \lvert x\rvert depende do sinal de x, trataremos separadamente os casos x>0 (onde \lvert x\rvert=x) e x<0 (onde \lvert x\rvert=-x). Em ambos os casos x\neq0.

Passo 3

Caso x>0 (então \lvert x\rvert=x):
xv + x^{2}\frac{dv}{dx} = x\sqrt{1+v^{2}}.
Dividindo por x (já que x>0):
v + x\frac{dv}{dx} = \sqrt{1+v^{2}}.
Isolando x\frac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx}=\sqrt{1+v^{2}}-v.
Agora separamos variáveis:
\frac{dv}{\sqrt{1+v^{2}}-v}=\frac{dx}{x}.

Passo 4

A integral do lado esquerdo pode ser feita com um truque de racionalização (multiplicar numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{1+v^{2}}+v):
\frac{1}{\sqrt{1+v^{2}}-v}=\frac{\sqrt{1+v^{2}}+v}{(\sqrt{1+v^{2}})^{2}-v^{2}}=\sqrt{1+v^{2}}+v,
pois (\sqrt{1+v^{2}})^{2}-v^{2}=1. Assim
\frac{dv}{\sqrt{1+v^{2}}-v}=(\sqrt{1+v^{2}}+v)\,dv.
Logo a equação separada se integra como
\int (\sqrt{1+v^{2}}+v)\,dv=\int\frac{dx}{x}=\ln x + C.

Passo 5

Precisamos calcular \displaystyle\int\sqrt{1+v^{2}}\,dv. Uma forma didática é usar a substituição hiperbólica v=\operatorname{sinh} t, que dá \sqrt{1+v^{2}}=\operatorname{cosh} t e dv=\operatorname{cosh} t\,dt. Então
\int\sqrt{1+v^{2}}\,dv=\int\operatorname{cosh}^{2}t\,dt=\int\frac{1+\operatorname{cosh}(2t)}{2}\,dt=\frac{t}{2}+\frac{\operatorname{sinh}(2t)}{4}+C.
Voltando para v (lembre que t=\operatorname{arsinh}v e \operatorname{sinh}(2t)=2\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t=2v\sqrt{1+v^{2}}), obtemos a forma conhecida
\int\sqrt{1+v^{2}}\,dv=\frac{v}{2}\sqrt{1+v^{2}}+\frac{1}{2}\ln\!\big(v+\sqrt{1+v^{2}}\big)+C.
Também é trivial integrar \int v\,dv=\dfrac{v^{2}}{2}.

Passo 6

Voltando à integral completa do Passo 4:
\int(\sqrt{1+v^{2}}+v)\,dv=\frac{v}{2}\sqrt{1+v^{2}}+\frac{1}{2}\ln\!\big(v+\sqrt{1+v^{2}}\big)+\frac{v^{2}}{2}+C.
Portanto, para x>0 temos a relação implícita
\frac{v}{2}\sqrt{1+v^{2}}+\frac{1}{2}\ln\!\big(v+\sqrt{1+v^{2}}\big)+\frac{v^{2}}{2}=\ln x + C.
Multiplicando por 2 e substituindo v=\dfrac{y}{x}, obtemos
v\sqrt{1+v^{2}}+\ln\!\big(v+\sqrt{1+v^{2}}\big)+v^{2}=2\ln x + C_{1}, \qquad v=\frac{y}{x},\quad x>0.

Passo 7

Caso x<0 (então \lvert x\rvert=-x):
Voltando à substituição do Passo 2, a equação torna-se
xv + x^{2}\frac{dv}{dx} = -x\sqrt{1+v^{2}}.
Dividindo por x (aqui x<0, mas dividir por x é válido):
v + x\frac{dv}{dx} = -\sqrt{1+v^{2}},
ou
x\frac{dv}{dx} = -\sqrt{1+v^{2}}-v = -\big(\sqrt{1+v^{2}}+v\big).
Separamos variáveis:
\frac{dv}{-(\sqrt{1+v^{2}}+v)}=\frac{dx}{x}\quad\Longrightarrow\quad -(\sqrt{1+v^{2}}+v)\,dv=\frac{dx}{x}.
Integrando e usando as fórmulas do Passo 5 chegamos a
-\left(\frac{v}{2}\sqrt{1+v^{2}}+\frac{1}{2}\ln\!\big(v+\sqrt{1+v^{2}}\big)+\frac{v^{2}}{2}\right)=\ln|x|+C.
Multiplicando por -2 e rearranjando, para x<0 ficamos com
- v\sqrt{1+v^{2}}-\ln\!\big(v+\sqrt{1+v^{2}}\big)+v^{2}=2\ln(-x)+C_{2}, \qquad v=\frac{y}{x},\quad x<0.

Passo 8

Resumo e observações finais:
  • As soluções estão dadas de forma implícita em termos de v=\dfrac{y}{x}.
  • Não existem soluções constantes não-triviais (por exemplo y\equiv0 não satisfaz a equação para x\neq0).
  • A constante de integração pode ser absorvida e ajustada conforme preferido; as relações acima dão a família geral de curvas que resolvem a EDO em cada intervalo de sinal de x.

Resposta

Para x>0:
\frac{y}{x}\sqrt{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}+\ln\!\left(\frac{y}{x}+\sqrt{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}\right)+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}=2\ln x + C.
Para x<0:
-\,\frac{y}{x}\sqrt{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}-\ln\!\left(\frac{y}{x}+\sqrt{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}\right)+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}=2\ln(-x) + C.

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