Resolva as seguintes equações diferenciais de
ordem.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede resolver (achar a família de soluções). Informações relevantes:
- A incógnita é
e . - A equação envolve raiz de
, então devemos tomar cuidado com o sinal de (aparece ao extrair fatores). -
é ponto singular da equação (pois o lado esquerdo tem fator ), logo as soluções serão buscadas em intervalos onde (isto é, e separadamente).
O objetivo é encontrar a solução geral (implícita ou explícita) válida em cada intervalo ondetem sinal fixo.
Passo 2
Vamos tentar a substituição padrão para problemas com
e
aparecendo somente por meio da razão
: definir
Diferenciando
em relação a
obtemos
Substituindo na equação original:
Como
depende do sinal de
, trataremos separadamente os casos
(onde
) e
(onde
). Em ambos os casos
.
Passo 3
Caso
(então
):
Dividindo por
(já que
):
Isolando
:
Agora separamos variáveis:
Passo 4
A integral do lado esquerdo pode ser feita com um truque de racionalização (multiplicar numerador e denominador pelo conjugado
):
pois
. Assim
Logo a equação separada se integra como
Passo 5
Precisamos calcular
. Uma forma didática é usar a substituição hiperbólica
, que dá
e
. Então
Voltando para
(lembre que
e
), obtemos a forma conhecida
Também é trivial integrar
.
Passo 6
Voltando à integral completa do Passo 4:
Portanto, para
temos a relação implícita
Multiplicando por
e substituindo
, obtemos
Passo 7
Caso
(então
):
Voltando à substituição do Passo 2, a equação torna-se
Voltando à substituição do Passo 2, a equação torna-se
Dividindo por
(aqui
, mas dividir por
é válido):
ou
Separamos variáveis:
Integrando e usando as fórmulas do Passo 5 chegamos a
Multiplicando por
e rearranjando, para
ficamos com
Passo 8
Resumo e observações finais:
- As soluções estão dadas de forma implícita em termos de
. - Não existem soluções constantes não-triviais (por exemplo
não satisfaz a equação para ). - A constante de integração pode ser absorvida e ajustada conforme preferido; as relações acima dão a família geral de curvas que resolvem a EDO em cada intervalo de sinal de
.
Resposta
Para
:
Para
: