Resolva as seguintes equações diferenciais utilizando o método das diferenças finitas
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Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pedido: resolver a EDO
com as condições de contorno
- Informações úteis (extraídas do enunciado):
- O domínio é o intervalo
. - Há uma condição de contorno do tipo Neumann em
: . - Há uma condição de contorno do tipo mista/Robin em
: . - A equação é não linear (presença de
), por isso o sistema discreto será não linear e precisaremos de um método iterativo (por exemplo Newton) para resolver o sistema algébrico resultante.
- O domínio é o intervalo
Passo 2
Definição da malha e aproximação das derivadas (diferenças finitas).
- Escolha uma malha uniforme com
subintervalos (escolha do fica a seu critério na prática; quanto maior mais precisa a aproximação, mas o sistema cresce). Definimos
- Vamos aproximar
por . A derivada segunda no ponto interno é aproximada pela diferença central de segunda ordem:
que tem erro de ordem
. Para os nós internos
substituímos na EDO.
- Para os nós internos
obtemos as equações discretas:
Explanação didática curta: essa fórmula vem da expansão em série de Taylor — é a aproximação mais usada porque é centrada (usa vizinho à esquerda e à direita) e tem boa precisão
. Cada equação gera uma relação entre três valores desconhecidos consecutivos.
Passo 3
Tratamento da condição de contorno em
:
.
- Uma maneira padrão de implementar uma condição de Neumann é introduzir um ponto “fantasma”
e usar a aproximação central para a derivada:
- Substituímos esse valor na fórmula da segunda derivada em
(usando a mesma diferença central com ponto fantasma):
- Substituindo na EDO em
obtemos a equação para o nó :
Explicação didática: a condição
diz que a tangente é horizontal no início; representamos isso refletindo o valor além da borda (
) igual ao vizinho interno
, o que força a diferença central da derivada a ser zero.
Passo 4
Tratamento da condição mista/Robin em
:
.
- Primeiro reorganizamos:
- Aproximamos
por diferença central com um ponto fantasma :
- Isolando
:
- Agora usamos a diferença central da segunda derivada no nó
:
- Substituímos
acima:
- Simplificando:
Explicação didática: a condição no extremo envolve a derivada e o valor de
; ao usar a aproximação central ela introduz o ponto fantasma
. Substituímos esse ponto fantasma usando a condição mista para eliminar incógnitas extras e obter uma equação somente em
.
Passo 5
Escrevendo o sistema não linear completo (forma vetorial) e explicando a solução numérica.
- Temos
incógnitas e equações , , onde:
Para
(nó em
):
Para
(nós internos):
Para
(nó em
):
- Esse é um sistema não linear em
. Uma maneira eficiente e padrão de resolvê-lo é usar o método de Newton para sistemas: - Escolher palpite inicial
(por exemplo ou ; um palpite perto do comportamento esperado ajuda). - Em cada iteração
montar o vetor e a matriz jacobiana definida por e resolver
- Escolher palpite inicial
- Atualizar
(ou usar passo amortecido se necessário). - Repetir até que
fique menor que uma tolerância desejada.
- Fórmulas explícitas para o Jacobiano (úteis na implementação):
Para
:
Para
:
e todas as outras derivadas nulas.
Para
:
e
para
.
- Observações práticas:
- A matriz jacobiana é tridiagonal (estrutura esparsa) — muito vantajoso: o sistema linear em cada iteração de Newton pode ser resolvido com custo
usando algoritmo para triadiagonal (Thomas) adaptado a tridiagonal não singular. - Como a equação é não linear com termo quadrático
, é comum usar como chute inicial um vetor constante (por exemplo porque a BC direita envolve o valor ) e, se Newton divergir, usar passo amortecido (damping) ou método de Newton-modificado. - Critério de parada prático:
com ou .
- A matriz jacobiana é tridiagonal (estrutura esparsa) — muito vantajoso: o sistema linear em cada iteração de Newton pode ser resolvido com custo
Passo 6
Exemplo ilustrativo de implementação (procedimento passo a passo que você faria na prova/implementação).
- Escolher
(por exemplo para solução razoavelmente refinada). - Calcular
e montar função que computa conforme fórmulas do Passo 5. - Montar função que monta
usando as fórmulas explícitas (tridiagonal). - Inicializar
(por exemplo para todo ). - Repetir:
a) Montare .
b) Resolverpor eliminação tridiagonal.
c) Atualizar. Se explodir, usar passo com .
d) Checar convergência. - Quando convergir,
é a aproximação desejada .
Dica didática: na prova, você normalmente precisa descrever o processo (como aqui) e, se pedirem, montar explicitamente as equações para um
pequeno (por exemplo
ou
). Se pedirem valores numéricos, resolveria o sistema não linear com Newton (fazer poucas iterações para
pequeno é possível à mão, mas trabalhoso); para valores reais use uma calculadora ou computador.
Passo 7
Resumo final do método e observações sobre validade da aproximação.
- Resultado prático: a equação contínua foi transformada no sistema discreto não linear dado por
com (veja as fórmulas do Passo 5). Resolva esse sistema por Newton (ou outro método não linear) para obter os valores aproximados . - Erro e convergência: a discretização por diferenças centrais dá erro global da ordem
desde que a solução seja suficientemente suave e a resolução do sistema seja precisa; portanto ao reduzir (aumentar ) espera-se a convergência quadrática em .
Resposta
Sistema discreto não linear para
com
:
Resolver numericamente
(por exemplo por Newton com a Jacobiana tridiagonal indicada no Passo 5) para obter os valores aproximados
.