Resolva as seguintes equações diferenciais utilizando o método das diferenças finitas
\
\begin{aligned} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x \frac{d y}{d x} & =\sin (x) \\ 0 \leq x & \leq 2 \\ y^{\prime}(0) & =0 \\ y(2) & =1 \end{aligned}
\

Passo 1

O enunciado pede que se resolva a equação diferencial ordinária
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+x\frac{dy}{dx}=\sin(x), \qquad 0\le x\le2,
sujeita às condições de contorno
y'(0)=0,\qquad y(2)=1.
Informações importantes fornecidas:
  • A equação é de segunda ordem e não-linear no coeficiente (porque aparece x multiplicando y'), mas é linear em y.
  • Há uma condição de Neumann em x=0: y'(0)=0.
  • Há uma condição de Dirichlet em x=2: y(2)=1.
    O enunciado pede uma solução via o método das diferenças finitas — isto é, aproximar derivadas por diferenças em uma malha e resolver o sistema linear resultante.

Passo 2

Escolha da malha e ideia geral do método:
  • Vou usar uma malha uniforme simples para explicar e calcular um exemplo que dê uma solução numérica palpável e que possa ser feita à mão: escolho N=4 subintervalos no intervalo [0,2]. Assim os nós são x_0=0,\;x_1=0{,}5,\;x_2=1{,}0,\;x_3=1{,}5,\;x_4=2{,}0.
  • O passo é
h=\frac{2-0}{4}=0{,}5.
  • As incógnitas serão os valores aproximados y_i\approx y(x_i) para i=0,1,2,3. O valor y_4 está fixo pela condição de Dirichlet: y_4=y(2)=1.
  • Vamos aplicar fórmulas de diferenças finitas de segunda ordem centradas para as derivadas nos nós internos i=1,2,3 e usar uma aproximação de segunda ordem à diferença para impor a condição de Neumann em x=0.
Explicação / revisão das fórmulas de diferenças (aqui a teoria mastigada):
  • Aproximação centrada de segunda ordem para a segunda derivada em x_i:
y''(x_i)\approx\frac{y_{i-1}-2y_i+y_{i+1}}{h^2}.
Isto vem da expansão em série de Taylor e tem erro O(h^2).
  • Aproximação centrada de segunda ordem para a primeira derivada em x_i:
y'(x_i)\approx\frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2h},
também com erro O(h^2).
  • Para a condição de Neumann em x=0 (derivada conhecida em fronteira), uso uma fórmula unidirecional de segunda ordem:
y'(0)\approx\frac{-3y_0+4y_1-y_2}{2h}.
Esta é uma aproximação com erro O(h^2) adequada para impor y'(0)=0 sem introduzir pontos-fantasma.

Passo 3

Aplicando as diferenças finitas à equação para os nós internos i=1,2,3:
escrevendo a equação contínua em x_i e substituindo as aproximações,
\frac{y_{i-1}-2y_i+y_{i+1}}{h^2} + x_i\cdot\frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2h} =\sin(x_i).
Multiplicando tudo por h^2 e recolhendo os coeficientes, obtemos a forma linear por nó
\biggl(1-\frac{x_i h}{2}\biggr)y_{i-1} -2y_i +\biggl(1+\frac{x_i h}{2}\biggr)y_{i+1} = h^2\sin(x_i).
Agora substituo h=0{,}5 e os x_i:
  • Para i=1 ( x_1=0{,}5):
1-\frac{x_1 h}{2}=1-0{,}125=0{,}875,\qquad 1+\frac{x_1 h}{2}=1{,}125,
RHS =h^2\sin(0{,}5)=0{,}25\sin(0{,}5)\approx0{,}119856385.
Então a equação é
0{,}875\,y_0-2\,y_1+1{,}125\,y_2=0{,}119856385.
  • Para i=2 ( x_2=1{,}0):
1-\frac{x_2 h}{2}=1-0{,}25=0{,}75,\qquad 1+\frac{x_2 h}{2}=1{,}25,
RHS =0{,}25\sin(1{,}0)\approx0{,}210367746.
Equação:
0{,}75\,y_1-2\,y_2+1{,}25\,y_3=0{,}210367746.
  • Para i=3 ( x_3=1{,}5):
1-\frac{x_3 h}{2}=1-0{,}375=0{,}625,\qquad 1+\frac{x_3 h}{2}=1{,}375,
RHS =0{,}25\sin(1{,}5)\approx0{,}249373747.
Equação:
0{,}625\,y_2-2\,y_3+1{,}375\,y_4=0{,}249373747.
Lembrando que y_4=1 (condição de Dirichlet), podemos passar o termo conhecido para o lado direito:
0{,}625\,y_2-2\,y_3 = 0{,}249373747-1{,}375 = -1{,}125626253.

Passo 4

Imposição da condição de Neumann em x=0:
y'(0)=0\quad\Rightarrow\quad \frac{-3y_0+4y_1-y_2}{2h}=0
com h=0{,}5 dá (multiplicando por 2h)
-3y_0+4y_1-y_2=0.
Agora temos quatro equações lineares para as quatro incógnitas y_0,y_1,y_2,y_3:
\begin{cases} -3y_0+4y_1-y_2=0,\\[6pt] 0{,}875\,y_0-2\,y_1+1{,}125\,y_2=0{,}119856385,\\[6pt] 0{,}75\,y_1-2\,y_2+1{,}25\,y_3=0{,}210367746,\\[6pt] 0{,}625\,y_2-2\,y_3=-1{,}125626253. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema linear (eliminação Gaussiana simplificada; mostro os passos algébricos para poder aplicar à mão):
  1. Da primeira equação isolamos y_0 em função de y_1,y_2:
-3y_0=-4y_1+y_2\quad\Rightarrow\quad y_0=\frac{4}{3}y_1-\frac{1}{3}y_2.
  1. Substituo y_0 na segunda equação:
0{,}875\Bigl(\frac{4}{3}y_1-\frac{1}{3}y_2\Bigr)-2y_1+1{,}125y_2=0{,}119856385.
Calculemos os coeficientes:
0{,}875\cdot\frac{4}{3}=1{,}166666667,\qquad 0{,}875\cdot\frac{1}{3}=0{,}291666667.
Substituindo e agrupando:
(1{,}166666667-2)y_1+(-0{,}291666667+1{,}125)y_2=0{,}119856385,
ou
-0{,}833333333\,y_1+0{,}833333333\,y_2=0{,}119856385.
Dividindo por 0{,}833333333 (observe que 0{,}833333333=5/6), obtemos
-y_1+y_2=0{,}143827662.
Assim
y_2=y_1+0{,}143827662.
  1. Substituo essa relação na terceira equação:
0{,}75y_1-2y_2+1{,}25y_3=0{,}210367746,
replace y_2 por y_1+0{,}143827662:
0{,}75y_1-2(y_1+0{,}143827662)+1{,}25y_3=0{,}210367746.
Calculando:
(0{,}75-2)y_1 +1{,}25y_3 -0{,}287655324 =0{,}210367746,
-1{,}25y_1+1{,}25y_3=0{,}210367746+0{,}287655324=0{,}49802307.
Dividindo por 1{,}25:
-y_1+y_3=0{,}398418456 \quad\Rightarrow\quad y_3=y_1+0{,}398418456.
  1. Substituo y_2 e y_3 (ambas em função de y_1) na quarta equação:
0{,}625y_2-2y_3=-1{,}125626253,
com y_2=y_1+0{,}143827662 e y_3=y_1+0{,}398418456. Então
0{,}625(y_1+0{,}143827662)-2(y_1+0{,}398418456)=-1{,}125626253.
Calcule os termos constantes:
0{,}625\cdot0{,}143827662=0{,}089892289,\qquad 2\cdot0{,}398418456=0{,}796836912.
Agrupando os coeficientes de y_1:
(0{,}625-2)y_1 + (0{,}089892289-0{,}796836912) = -1{,}125626253,
-1{,}375y_1 -0{,}706944623 = -1{,}125626253.
Isolando y_1:
-1{,}375y_1 = -1{,}125626253 +0{,}706944623 = -0{,}41868163,
y_1=\frac{-0{,}41868163}{-1{,}375} \approx 0{,}304495731.
  1. Agora recupero os outros valores:
y_2=y_1+0{,}143827662\approx 0{,}304495731+0{,}143827662=0{,}448323393,
y_3=y_1+0{,}398418456\approx 0{,}304495731+0{,}398418456=0{,}702914187.
  1. E y_0 vinha da expressão
y_0=\frac{4}{3}y_1-\frac{1}{3}y_2.
Substituindo:
y_0=\frac{1}{3}(4y_1-y_2)\approx\frac{1}{3}(4\cdot0{,}304495731-0{,}448323393) \approx0{,}256553177.

Passo 6

Checagem rápida (resíduos pequenos): substituindo os y_i obtidos nas equações discretas as diferenças entre lados são da ordem de 10^{-4} ou menores, o que indica consistência numérica com as aproximações de segunda ordem empregadas.
Interpretação final: os valores y_i aproximam a solução y(x) nos nós x_i. Usei N=4 para facilitar a conta manual; malhas mais finas (maior N) dão aproximações melhores, mas a lógica de montagem do sistema é exatamente a mesma.

Resposta

y(0)\approx0{,}256553
y(0{,}5)\approx0{,}304496
y(1{,}0)\approx0{,}448323
y(1{,}5)\approx0{,}702914
y(2{,}0)=1{,}000000

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