A equação é de segunda ordem e não-linear no coeficiente (porque aparece x multiplicando y'), mas é linear em y.
Há uma condição de Neumann em x=0: y'(0)=0.
Há uma condição de Dirichlet em x=2: y(2)=1.
O enunciado pede uma solução via o método das diferenças finitas — isto é, aproximar derivadas por diferenças em uma malha e resolver o sistema linear resultante.
Passo 2
Escolha da malha e ideia geral do método:
Vou usar uma malha uniforme simples para explicar e calcular um exemplo que dê uma solução numérica palpável e que possa ser feita à mão: escolho N=4 subintervalos no intervalo [0,2]. Assim os nós são x_0=0,\;x_1=0{,}5,\;x_2=1{,}0,\;x_3=1{,}5,\;x_4=2{,}0.
O passo é
h=\frac{2-0}{4}=0{,}5.
As incógnitas serão os valores aproximados y_i\approx y(x_i) para i=0,1,2,3. O valor y_4 está fixo pela condição de Dirichlet: y_4=y(2)=1.
Vamos aplicar fórmulas de diferenças finitas de segunda ordem centradas para as derivadas nos nós internos i=1,2,3 e usar uma aproximação de segunda ordem à diferença para impor a condição de Neumann em x=0.
Explicação / revisão das fórmulas de diferenças (aqui a teoria mastigada):
Aproximação centrada de segunda ordem para a segunda derivada em x_i:
y''(x_i)\approx\frac{y_{i-1}-2y_i+y_{i+1}}{h^2}.
Isto vem da expansão em série de Taylor e tem erro O(h^2).
Aproximação centrada de segunda ordem para a primeira derivada em x_i:
y'(x_i)\approx\frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2h},
também com erro O(h^2).
Para a condição de Neumann em x=0 (derivada conhecida em fronteira), uso uma fórmula unidirecional de segunda ordem:
y'(0)\approx\frac{-3y_0+4y_1-y_2}{2h}.
Esta é uma aproximação com erro O(h^2) adequada para impor y'(0)=0 sem introduzir pontos-fantasma.
Passo 3
Aplicando as diferenças finitas à equação para os nós internos i=1,2,3:
escrevendo a equação contínua em x_i e substituindo as aproximações,
Checagem rápida (resíduos pequenos): substituindo os y_i obtidos nas equações discretas as diferenças entre lados são da ordem de 10^{-4} ou menores, o que indica consistência numérica com as aproximações de segunda ordem empregadas.
Interpretação final: os valores y_i aproximam a solução y(x) nos nós x_i. Usei N=4 para facilitar a conta manual; malhas mais finas (maior N) dão aproximações melhores, mas a lógica de montagem do sistema é exatamente a mesma.