Resolva as seguintes equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condições iniciais:
Informações relevantes dadas:
- A equação é linear, homogênea e com coeficientes constantes.
- Foram fornecidas duas condições iniciais em
: o valor de e de .
Passo 2
Ideia do método (passo-a-passo da teoria que vamos usar): para equações lineares homogêneas de coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
. Isso porque exponenciais transformam derivadas em múltiplos da própria exponencial, simplificando a equação para uma equação algébrica (o polinômio característico). Vou mostrar como aplicar isso aqui.
Suponha
. Então
Substituindo na equação diferencial:
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter o polinômio característico
Passo 3
Resolvendo o polinômio característico:
Portanto temos uma raiz real dupla
Interpretação rápida: a presença de uma raiz dupla muda a forma das soluções fundamentais (não teremos duas exponenciais diferentes, teremos uma combinação com um fator
).
Passo 4
Regra para raiz dupla: se o polinômio característico tem uma raiz
de multiplicidade
, duas soluções fundamentais linearmente independentes da EDO são
e
. Logo a solução geral da EDO é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Breve intuição do porquê do
: quando as raízes são iguais as duas soluções exponenciais seriam iguais (não são independentes), então multiplicamos uma delas por
para obter independência linear; isso pode ser visto formalmente por redução de ordem ou por propriedades do espaço de soluções de EDOs lineares.
Passo 5
Agora precisamos aplicar as condições iniciais, então calculamos
. Partimos da solução geral
Usamos a regra do produto para derivar
. Derivando termo a termo:
Somando,
Podemos fatorar
se quiser:
Passo 6
Aplicando as condições iniciais em
.
Primeira condição:
. Avaliando
:
Então
Segunda condição:
. Avaliando
usando a expressão obtida:
Substituindo
e impondo
:
Passo 7
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
Essa é a função que resolve a EDO e respeita
e
. Vai bem — se ficar nervoso na prova, lembra: montar o polinômio característico e checar multiplicidade é o truque principal aqui.