Resolva as seguintes equações diferenciais.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0, y(0)=2, y^{\prime}(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condições iniciais:
y'' + 2y' + y = 0,\qquad y(0)=2,\qquad y'(0)=-1.
Informações relevantes dadas:
  • A equação é linear, homogênea e com coeficientes constantes.
  • Foram fornecidas duas condições iniciais em t=0: o valor de y e de y'.

Passo 2

Ideia do método (passo-a-passo da teoria que vamos usar): para equações lineares homogêneas de coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Isso porque exponenciais transformam derivadas em múltiplos da própria exponencial, simplificando a equação para uma equação algébrica (o polinômio característico). Vou mostrar como aplicar isso aqui.
Suponha y(t)=e^{rt}. Então
y'(t)=r e^{rt},\qquad y''(t)=r^2 e^{rt}.
Substituindo na equação diferencial:
r^2 e^{rt} + 2 r e^{rt} + 1\cdot e^{rt}=0.
Como e^{rt}\neq0 para todo t, podemos dividir por e^{rt} e obter o polinômio característico
r^2 + 2r + 1 = 0.

Passo 3

Resolvendo o polinômio característico:
r^2 + 2r + 1 = (r+1)^2 = 0.
Portanto temos uma raiz real dupla
r = -1\quad\text{(multiplicidade 2).}
Interpretação rápida: a presença de uma raiz dupla muda a forma das soluções fundamentais (não teremos duas exponenciais diferentes, teremos uma combinação com um fator t).

Passo 4

Regra para raiz dupla: se o polinômio característico tem uma raiz r de multiplicidade 2, duas soluções fundamentais linearmente independentes da EDO são e^{rt} e t e^{rt}. Logo a solução geral da EDO é
y(t) = C_1 e^{-t} + C_2\, t e^{-t},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Breve intuição do porquê do t e^{rt}: quando as raízes são iguais as duas soluções exponenciais seriam iguais (não são independentes), então multiplicamos uma delas por t para obter independência linear; isso pode ser visto formalmente por redução de ordem ou por propriedades do espaço de soluções de EDOs lineares.

Passo 5

Agora precisamos aplicar as condições iniciais, então calculamos y'(t). Partimos da solução geral
y(t) = C_1 e^{-t} + C_2 t e^{-t}.
Usamos a regra do produto para derivar t e^{-t}. Derivando termo a termo:
\frac{d}{dt}\big(C_1 e^{-t}\big) = -C_1 e^{-t},
\frac{d}{dt}\big(C_2 t e^{-t}\big) = C_2\big(1\cdot e^{-t} + t\cdot(-e^{-t})\big) = C_2\big(e^{-t} - t e^{-t}\big).
Somando,
y'(t) = -C_1 e^{-t} + C_2 e^{-t} - C_2 t e^{-t}.
Podemos fatorar e^{-t} se quiser:
y'(t) = \big(-C_1 + C_2 - C_2 t\big) e^{-t}.

Passo 6

Aplicando as condições iniciais em t=0.
Primeira condição: y(0)=2. Avaliando y(0):
y(0) = C_1 e^{0} + C_2\cdot 0 \cdot e^{0} = C_1.
Então
C_1 = 2.
Segunda condição: y'(0)=-1. Avaliando y'(0) usando a expressão obtida:
y'(0) = \big(-C_1 + C_2 - C_2\cdot 0\big) e^{0} = -C_1 + C_2.
Substituindo C_1=2 e impondo y'(0)=-1:
-2 + C_2 = -1 \quad\Rightarrow\quad C_2 = 1.

Passo 7

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y(t) = 2 e^{-t} + 1\cdot t e^{-t} = (2 + t) e^{-t}.
Essa é a função que resolve a EDO e respeita y(0)=2 e y'(0)=-1. Vai bem — se ficar nervoso na prova, lembra: montar o polinômio característico e checar multiplicidade é o truque principal aqui.

Resposta

y(t)=(2+t)e^{-t}

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