Resolva as seguintes equações diferenciais.
y^{\prime \prime}+y=0, y(0)=2, y(\pi / 2)=-5

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condições iniciais fornecidas. As informações dadas são:
y'' + y = 0,
y(0)=2,
y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-5.

Passo 2

Vamos encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A técnica padrão é propor uma solução do tipo \exp(rx) e obter a equação característica. Propondo y=e^{rx} temos
y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^2 e^{rx},
substituindo em \;y''+y=0\; obtemos a equação característica
r^2 + 1 = 0.
As raízes dessa equação são complexas:
r = \pm i.
Quando as raízes são \alpha\pm i\beta (aqui \alpha=0,\;\beta=1), a forma real da solução geral é
y(x) = C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x).
No nosso caso, isso dá
y(x) = C_1\cos x + C_2\sin x.
Uma curta explicação do porquê: \mathrm{e}^{ix}=\cos x + i\sin x, então as partes real e imaginária de soluções exponenciais complexas geram as funções \cos e \sin, que são linearmente independentes e formam a base das soluções reais.

Passo 3

Agora aplicamos a condição y(0)=2. Substituindo x=0 na solução geral:
y(0) = C_1\cos 0 + C_2\sin 0 = C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 = C_1.
Logo
C_1 = 2.
Dica prática: sempre calcule \cos 0 = 1 e \sin 0 = 0 para simplificar imediatamente.

Passo 4

Aplicamos a condição y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-5. Substituindo x=\frac{\pi}{2}:
y\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = C_1\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right) + C_2\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right).
Usamos \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 e \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, portanto
y\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = C_1\cdot 0 + C_2\cdot 1 = C_2.
Como y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-5, obtemos
C_2 = -5.

Passo 5

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, a solução particular que satisfaz as condições é
y(x) = 2\cos x - 5\sin x.
Só para conferir rapidamente (passo opcional que dá segurança na prova): calcule y''+y. Temos
y'(x) = -2\sin x -5\cos x,
y''(x) = -2\cos x +5\sin x,
e então
y''(x)+y(x) = (-2\cos x +5\sin x) + (2\cos x -5\sin x) = 0,
confirmando que a equação diferencial é satisfeita, e já verificamos as condições iniciais antes.

Resposta

y(x)=2\cos x-5\sin x

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