Resolva as seguintes equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condições iniciais fornecidas. As informações dadas são:
Passo 2
Vamos encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A técnica padrão é propor uma solução do tipo
e obter a equação característica. Propondo
temos
substituindo em
obtemos a equação característica
As raízes dessa equação são complexas:
Quando as raízes são
(aqui
), a forma real da solução geral é
No nosso caso, isso dá
Uma curta explicação do porquê:
, então as partes real e imaginária de soluções exponenciais complexas geram as funções
e
, que são linearmente independentes e formam a base das soluções reais.
Passo 3
Agora aplicamos a condição
. Substituindo
na solução geral:
Logo
Dica prática: sempre calcule
e
para simplificar imediatamente.
Passo 4
Aplicamos a condição
. Substituindo
:
Usamos
e
, portanto
Como
, obtemos
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, a solução particular que satisfaz as condições é
Só para conferir rapidamente (passo opcional que dá segurança na prova): calcule
. Temos
e então
confirmando que a equação diferencial é satisfeita, e já verificamos as condições iniciais antes.