Resolva as seguintes equações diferenciais:
y^{\prime \prime}=\frac{x+2 y^{\prime}}{y^{\prime}-x};

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y''=\frac{x+2y'}{y'-x},
e pede a sua solução geral. As informações relevantes que temos:
  • A equação envolve y'' e y' explicitamente; não há y aparecendo no lado direito.
  • Queremos uma família de soluções com duas constantes arbitrárias (uma vez que é ODE de segunda ordem).
    O que se pede é encontrar a solução geral y(x) (ou uma forma implícita dela), obedecendo à equação dada.

Passo 2

Redução da ordem: como a equação não contém y explicitamente, é natural reduzir a ordem usando a substituição
p(x)=y'(x).
Assim y''=p'(x)=\dfrac{dp}{dx}. Substituindo na equação obtemos uma equação de primeira ordem para p:
\frac{dp}{dx}=\frac{x+2p}{p-x}.
Agora vamos resolver essa equação para p(x). Depois integraremos p para recuperar y.

Passo 3

Tentativa de simplificação por homogeneidade: a razão direita depende de x e p de forma que sugere usar a substituição de quociente
v=\frac{p}{x}\quad(\text{logo }p=vx).
Calculamos \dfrac{dp}{dx} usando p=vx:
\frac{dp}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Substituindo em \dfrac{dp}{dx}=\dfrac{x+2p}{p-x} obtemos
v+x\frac{dv}{dx}=\frac{x+2vx}{vx-x}=\frac{1+2v}{v-1}.
Isolando x\,dv/dx:
x\frac{dv}{dx}=\frac{1+2v}{v-1}-v.

Passo 4

Simplificamos a expressão no lado direito:
\frac{1+2v}{v-1}-v=\frac{1+2v - v(v-1)}{v-1}=\frac{1+2v - v^2 + v}{v-1}=\frac{1+3v - v^2}{v-1}.
Portanto
x\frac{dv}{dx}=\frac{1+3v - v^2}{v-1} = -\frac{v^2 -3v -1}{v-1}.
Isto é uma equação separável. Passando os termos com v para um lado e x para o outro:
\frac{v-1}{v^2-3v-1}\,dv = -\frac{dx}{x}.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados. À esquerda precisamos calcular
\int \frac{v-1}{v^2-3v-1}\,dv.
Para integrar, escrevemos o numerador como combinação do derivado do denominador mais uma constante. O denominador é
D(v)=v^2-3v-1,\qquad D'(v)=2v-3.
Escrevemos
v-1=\frac{1}{2}(2v-3)+\frac{1}{2},
porque \dfrac{1}{2}(2v-3)+\dfrac{1}{2}=v-1. Assim
\frac{v-1}{D(v)}=\frac{1}{2}\frac{2v-3}{D(v)}+\frac{1}{2}\frac{1}{D(v)}.
Integrando em v:
\int\frac{v-1}{v^2-3v-1}\,dv=\frac{1}{2}\int\frac{2v-3}{D(v)}\,dv+\frac{1}{2}\int\frac{1}{D(v)}\,dv.
A primeira integral dá \dfrac{1}{2}\ln|D(v)|. Para a segunda, completamos o quadrado:
D(v)=v^2-3v-1=\left(v-\tfrac{3}{2}\right)^2-\frac{13}{4}.
Logo, com u=v-\tfrac{3}{2} e a=\tfrac{\sqrt{13}}{2},
\int\frac{1}{D(v)}\,dv=\int\frac{1}{u^2-a^2}\,du=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{u-a}{u+a}\right| =\frac{1}{\sqrt{13}}\ln\left|\frac{v-\tfrac{3}{2}-\tfrac{\sqrt{13}}{2}}{v-\tfrac{3}{2}+\tfrac{\sqrt{13}}{2}}\right|.
Portanto a integral total é
\int\frac{v-1}{v^2-3v-1}\,dv=\frac{1}{2}\ln|v^2-3v-1|+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{13}} \ln\left|\frac{2v-3-\sqrt{13}}{2v-3+\sqrt{13}}\right| + C.

Passo 6

Voltando à separação, a integração do lado direito deu
\int -\frac{dx}{x}=-\ln|x|+C.
Igualando as primitivas obtemos
\frac{1}{2}\ln|v^2-3v-1|+\frac{1}{2\sqrt{13}} \ln\left|\frac{2v-3-\sqrt{13}}{2v-3+\sqrt{13}}\right|=-\ln|x|+C.
Multiplicando por 2 e reorganizando, podemos eliminar termos \ln|x| quando substituirmos v=p/x mais adiante. Para ficar numa forma mais explícita, juntamos as exponenciais: existe uma constante C_1\neq 0 tal que
\left|v^2-3v-1\right|\left|\frac{2v-3-\sqrt{13}}{2v-3+\sqrt{13}}\right|^{1/\sqrt{13}}=C_1 x^{-2}.

Passo 7

Voltando à variável original p=y' (lembre que v=\dfrac{p}{x}), substituímos v=\dfrac{p}{x} nas expressões. Observe que
v^2-3v-1=\frac{p^2-3px-x^2}{x^2},
e, como a razão dos binômios tem fator comum x que cancela, temos
\frac{2v-3-\sqrt{13}}{2v-3+\sqrt{13}} =\frac{2p-(3+\sqrt{13})x}{2p-(3-\sqrt{13})x}.
Substituindo na relação do Passo 6 obtém-se uma primeira integral implicita relacionando p e x:
\left|p^2-3px-x^2\right|\left|\frac{2p-(3+\sqrt{13})x}{2p-(3-\sqrt{13})x}\right|^{1/\sqrt{13}}=C_2,
onde C_2 é uma constante arbitrária não nula (absorvemos o x^{-2} anterior ao reorganizar a constante). Esta equação é a redução de ordem: dá uma relação implícita entre p=y' e x. Ela representa a primeira integral da equação de segunda ordem.

Passo 8

Recuperando y(x): sabendo que p=y'(x) satisfaz a relação implícita do Passo 7, a solução geral da equação original é obtida integrando
y'(x)=p(x)
ou seja
y(x)=\int p(x)\,dx + C_3,
onde p(x) é função implicitamente definida por
\left(p^2-3px-x^2\right)\left(\frac{2p-(3+\sqrt{13})x}{2p-(3-\sqrt{13})x}\right)^{1/\sqrt{13}}=C_2.
A integral anterior, em geral, não pode ser expressa em termos de funções elementares de forma explícita porque p está dado implicitamente; assim a solução geral fica descrita implicitamente por essas duas condições (primeira integral envolvendo p e a integração de p para obter y), com duas constantes arbitrárias C_2 e C_3.

Resposta

\left(p^2-3px-x^2\right)\left(\frac{2p-(3+\sqrt{13})x}{2p-(3-\sqrt{13})x}\right)^{1/\sqrt{13}}=C_1,\qquad p=y'
y(x)=\int p(x)\,dx + C_2,
onde p(x) satisfaz a relação implícita acima e C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

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