Resolva as seguintes equações diferenciais: y^{\prime \prime}=\frac{x+2 y^{\prime}}{y^{\prime}-x};
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y''=\frac{x+2y'}{y'-x},
e pede a sua solução geral. As informações relevantes que temos:
A equação envolve y'' e y' explicitamente; não há y aparecendo no lado direito.
Queremos uma família de soluções com duas constantes arbitrárias (uma vez que é ODE de segunda ordem).
O que se pede é encontrar a solução geral y(x) (ou uma forma implícita dela), obedecendo à equação dada.
Passo 2
Redução da ordem: como a equação não contém y explicitamente, é natural reduzir a ordem usando a substituição
p(x)=y'(x).
Assim y''=p'(x)=\dfrac{dp}{dx}. Substituindo na equação obtemos uma equação de primeira ordem para p:
\frac{dp}{dx}=\frac{x+2p}{p-x}.
Agora vamos resolver essa equação para p(x). Depois integraremos p para recuperar y.
Passo 3
Tentativa de simplificação por homogeneidade: a razão direita depende de x e p de forma que sugere usar a substituição de quociente
v=\frac{p}{x}\quad(\text{logo }p=vx).
Calculamos \dfrac{dp}{dx} usando p=vx:
\frac{dp}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Substituindo em \dfrac{dp}{dx}=\dfrac{x+2p}{p-x} obtemos
Multiplicando por 2 e reorganizando, podemos eliminar termos \ln|x| quando substituirmos v=p/x mais adiante. Para ficar numa forma mais explícita, juntamos as exponenciais: existe uma constante C_1\neq 0 tal que
onde C_2 é uma constante arbitrária não nula (absorvemos o x^{-2} anterior ao reorganizar a constante). Esta equação é a redução de ordem: dá uma relação implícita entre p=y' e x. Ela representa a primeira integral da equação de segunda ordem.
Passo 8
Recuperando y(x): sabendo que p=y'(x) satisfaz a relação implícita do Passo 7, a solução geral da equação original é obtida integrando
A integral anterior, em geral, não pode ser expressa em termos de funções elementares de forma explícita porque p está dado implicitamente; assim a solução geral fica descrita implicitamente por essas duas condições (primeira integral envolvendo p e a integração de p para obter y), com duas constantes arbitrárias C_2 e C_3.