Resolva as seguintes equações diferenciais:
;
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Informações dadas e objetivo:
- A equação relaciona a segunda derivada de
com uma função da primeira derivada . - Quer-se encontrar a família de funções
que satisfazem essa relação, contendo duas constantes arbitrárias (por ser EDO de segunda ordem).
Passo 2
Estratégia inicial (sem resolver ainda): como o lado direito depende apenas de
e não aparece
nem
explicitamente, é natural reduzir a ordem fazendo a substituição
Explicação rápida: ao definir
transformamos a equação de segunda ordem em uma de primeira ordem para
. Depois integrando
obtemos
. Isso é padrão quando a EDO não depende explicitamente de
.
Passo 3
Aplicando a substituição escrevemos
como derivada de
em relação a
:
Agora temos uma EDO de primeira ordem para
. Observação: esta EDO é separável, ou seja, podemos reescrever os termos com
de um lado e
do outro.
Passo 4
Separando variáveis e integrando:
Integrando ambos os lados em relação às suas variáveis:
Cálculo das integrais:
onde
é constante de integração. Comentário sobre domínio: como
para todo
, o lado direito deve ser positivo, portanto a solução obtida exige
no intervalo onde a função está definida.
Passo 5
Resolver para
(ou seja, para
):
com a ressalva anterior de que
.
Passo 6
Agora integramos para obter
. Temos que calcular
Fazendo a substituição
(assim
), a integral fica
. Lembrando a primitiva padrão
seguimos:
onde
é a segunda constante de integração.
Passo 7
Organizando a expressão de forma bonita:
com
constantes arbitrárias e domínio onde
. Verificação rápida (para dar confiança): derivando,
logo a solução satisfaz a equação original.
Passo 8
Comentário final e incentivo: obtivemos a solução geral com duas constantes, e a técnica central foi reduzir a ordem usando
e resolver uma EDO separável. Se te deixei alguma dúvida em algum passo, me fala que eu repito com mais detalhamento — você tá indo bem!