Resolva as seguintes equações diferenciais:
y^{\prime \prime}=e^{-y^{\prime}};

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' = e^{-y'}.
Informações dadas e objetivo:
  • A equação relaciona a segunda derivada de y com uma função da primeira derivada y'.
  • Quer-se encontrar a família de funções y(x) que satisfazem essa relação, contendo duas constantes arbitrárias (por ser EDO de segunda ordem).

Passo 2

Estratégia inicial (sem resolver ainda): como o lado direito depende apenas de y' e não aparece y nem x explicitamente, é natural reduzir a ordem fazendo a substituição
p(x)=y'(x).
Explicação rápida: ao definir p=y' transformamos a equação de segunda ordem em uma de primeira ordem para p. Depois integrando p obtemos y. Isso é padrão quando a EDO não depende explicitamente de y.

Passo 3

Aplicando a substituição escrevemos y'' como derivada de p em relação a x:
\frac{dp}{dx}=e^{-p}.
Agora temos uma EDO de primeira ordem para p(x). Observação: esta EDO é separável, ou seja, podemos reescrever os termos com p de um lado e x do outro.

Passo 4

Separando variáveis e integrando:
e^{p}\,dp = dx.
Integrando ambos os lados em relação às suas variáveis:
\int e^{p}\,dp=\int 1\,dx.
Cálculo das integrais:
e^{p}=x+C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. Comentário sobre domínio: como e^{p}>0 para todo p, o lado direito deve ser positivo, portanto a solução obtida exige x+C_{1}>0 no intervalo onde a função está definida.

Passo 5

Resolver para p (ou seja, para y'):
p=y'=\ln(x+C_{1}),
com a ressalva anterior de que x+C_{1}>0.

Passo 6

Agora integramos para obter y. Temos que calcular
y=\int y'\,dx=\int \ln(x+C_{1})\,dx.
Fazendo a substituição u=x+C_{1} (assim du=dx), a integral fica \int \ln u\,du. Lembrando a primitiva padrão
\int \ln u\,du = u\ln u - u + \text{const},
seguimos:
y=(x+C_{1})\ln(x+C_{1})-(x+C_{1})+C_{2},
onde C_{2} é a segunda constante de integração.

Passo 7

Organizando a expressão de forma bonita:
y=(x+C_{1})\bigl(\ln(x+C_{1})-1\bigr)+C_{2},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias e domínio onde x+C_{1}>0. Verificação rápida (para dar confiança): derivando,
y'=\ln(x+C_{1}),\qquad y''=\frac{1}{x+C_{1}}=e^{-\ln(x+C_{1})}=e^{-y'},
logo a solução satisfaz a equação original.

Passo 8

Comentário final e incentivo: obtivemos a solução geral com duas constantes, e a técnica central foi reduzir a ordem usando p=y' e resolver uma EDO separável. Se te deixei alguma dúvida em algum passo, me fala que eu repito com mais detalhamento — você tá indo bem!

Resposta

y=(x+C_{1})\bigl(\ln(x+C_{1})-1\bigr)+C_{2}, com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias e x+C_{1}>0.

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