Resolva as seguintes equações diferenciais:
y^prime=y cos (x)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Resolva a equação diferencial
y' = ycos(x)
Isso é Matemática de Equações Diferenciais de 1ª ordem, mais precisamente um caso de equação com variáveis separáveis. Para resolver, a gente vai:
1) reconhecer que dá pra separar tudo que envolve de tudo que envolve ,
2) integrar cada lado,
3) achar a solução geral incluindo a constante de integração.

Passo 2

Primeiro, escreve a derivada como dydx = ycos(x) . A equação fica
1y,dy = cos(x),dx
Variáveis separáveis significa que dá pra colocar todos os termos com de um lado e os com do outro. Então dividimos por e multiplicamos por :

Passo 3

Agora a gente integra os dois lados. Lembrando que
lnlvert yrvert = sin(x) + C
e
.
Fazendo a conta (e juntando as constantes e numa só chamada ), dá:

Passo 4

Pra isolar lvert yrvert = e^sin(x) + C = e^C , e^sin(x) , a gente expõe com o exponencial:
y = C',e^sin(x),
Como é só uma constante positiva, podemos chamar e escrever diretamente
onde é a constante geral (que pode ser qualquer real).

Resposta

y(x) = C,e^sin(x),
com constante de integração.

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