Para uma viga engastada abaixo com carregamento P de 15 kN , determine os critérios de projetos UTILIZANDO SOMENTE O MÉTODO DA INTEGRAÇÃO. Considerar E igual a 200 GPa , seção retangular de base 60 mm e altura de 120 mm , com vão L de 2 m .
As equaçc̃es da linha elástica e da declividade para toda a estrutura.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos uma viga engastada numa extremidade (cantilevera) e na outra está aplicada uma força . O objetivo é, usando só o método da integração, encontrar as equações da declividade e da linha elástica em toda a extensão , sendo .
Conteúdo envolvido: Teoria das vigas (equação diferencial ), momento interno para cantilevera, integração duas vezes e aplicação das condições de contorno. Vamos precisar de:
  • Módulo de Young .
  • Momento de inércia da seção retangular .
  • Equações diferenciais de equilíbrio da flecha.

Passo 2

  1. Momento interno M(x) ;=;-P,(L - x)(0<= x<= L) .
    Para um carregamento concentrado na extremidade livre, medindo a partir do engaste:
O sinal “–” indica que o momento tende a curvar a viga para baixo.

Passo 3

  1. Equação diferencial da linha elástica.
    Pela teoria de vigas de Euler–Bernoulli temos
E,I,y''(x);=;M(x) Rightarrow y''(x);=;M(x)E,I ;=;-,P,(L - x)E,I
Aqui I ;=;b,h^312 ;=;0,06;(0,12)^312 ;=;8,64times10^-6,m^4 é o momento de inércia da seção:

Passo 4

  1. Integração para obter a declividade y'(x) =integral y''(x),dx =-PE,Iintegral (L - x),dx =-PE,Il(L,x - tfracx^22r) + C1 .
    Integramos y(x) =integral y'(x),dx =-PE,Iintegral!l(L,x - tfracx^22r),dx +C1,x+C2 =-PE,Il(tfracL,x^22-tfracx^36r) +C1,x + C2 :
  1. Integração para obter a flecha .
    Integramos de novo:

Passo 5

  1. Condições de contorno.
    No engaste ( ) temos e .
    - Em : .
    - Em : Termos em .
Logo e as equações finais ficam sem constantes extras.

Resposta

Declividade:
boxed y'(x) =;-PE,Il(L,x-tfracx^22r) ;=;P2,E,I,x,(2L - x)
Linha elástica (flecha):
boxed y(x) =;-PE,Il(tfracL,x^22-tfracx^36r) ;=;P6,E,I,x^2,(3L - x)
com ,kN, ,GPa, ,m , ,m.

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