Resolva as seguintes equações exponenciais:
Resolva as seguintes equações exponenciais, através da substituição da aula de sábado
Resolva as seguintes equações exponenciais, através da substituição da aula de sábado
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação exponencial abaixo, usando a substituição indicada na aula:
Informações dadas e o que se busca:
- A incógnita é
. - A expressão envolve potências de base
. - Deve-se encontrar todos os valores reais de
que satisfazem a equação.
Passo 2
Fazer a substituição típica: definir uma nova variável para simplificar a equação. Seja
Justificativa curta: para qualquer
tem-se
, então
é positivo e a substituição é válida. Substituindo na equação obtemos uma equação quadrática em
:
Passo 3
Resolver a equação quadrática
. Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
onde
,
e
. Primeiro calcule o discriminante
:
Agora as raízes:
Portanto as soluções para
são
Passo 4
Voltar à variável original
usando
. Temos dois casos:
Caso 1:
. Escrever
como potência de
:
. Como a função exponencial de base
é injetora, isso implica
Caso 2:
. Escrever
como potência de
:
. Logo
Observação sobre validade: ambas as soluções
e
são positivas, compatíveis com
, então nenhuma raiz é extraviada pela substituição.
Passo 5
Checar rapidamente substituindo na equação original para garantir que realmente anulam:
Para
:
Para
:
As duas verificações dão
, então ambas são soluções corretas.