Resolva as seguintes equações exponenciais:
Resolva as seguintes equações exponenciais, através da substituição da aula de sábado
\left(3^{x}\right)^{2}-12 \cdot 3^{x}+27=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial abaixo, usando a substituição indicada na aula:
\left(3^{x}\right)^{2}-12\cdot 3^{x}+27=0.
Informações dadas e o que se busca:
  • A incógnita é x.
  • A expressão envolve potências de base 3.
  • Deve-se encontrar todos os valores reais de x que satisfazem a equação.

Passo 2

Fazer a substituição típica: definir uma nova variável para simplificar a equação. Seja
t = 3^{x}.
Justificativa curta: para qualquer x\in\mathbb{R} tem-se 3^{x}>0, então t é positivo e a substituição é válida. Substituindo na equação obtemos uma equação quadrática em t:
t^{2}-12t+27=0.

Passo 3

Resolver a equação quadrática \,t^{2}-12t+27=0. Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
t=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a=1, b=-12 e c=27. Primeiro calcule o discriminante \Delta:
\Delta = b^{2}-4ac = (-12)^{2}-4\cdot1\cdot27 = 144-108 = 36.
Agora as raízes:
t=\frac{12\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{12\pm6}{2}.
Portanto as soluções para t são
t_{1}=\frac{12+6}{2}=9,\qquad t_{2}=\frac{12-6}{2}=3.

Passo 4

Voltar à variável original x usando t=3^{x}. Temos dois casos:
Caso 1: 3^{x}=9. Escrever 9 como potência de 3: 9=3^{2}. Como a função exponencial de base 3 é injetora, isso implica
x=2.
Caso 2: 3^{x}=3. Escrever 3 como potência de 3: 3=3^{1}. Logo
x=1.
Observação sobre validade: ambas as soluções t=9 e t=3 são positivas, compatíveis com t=3^{x}, então nenhuma raiz é extraviada pela substituição.

Passo 5

Checar rapidamente substituindo na equação original para garantir que realmente anulam:
Para x=1:
(3^{1})^{2}-12\cdot 3^{1}+27 = 9-36+27=0.
Para x=2:
(3^{2})^{2}-12\cdot 3^{2}+27 = 81-108+27=0.
As duas verificações dão 0, então ambas são soluções corretas.

Resposta

x=1
x=2

Exercícios relacionados