Resolva as seguintes equações:
\left(\log _{4} x\right)^{2}-2 \log _{4} x-3=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
(\log_{4}x)^{2} \;-\;2\,\log_{4}x\;-\;3 \;=\;0.
O conteúdo envolvido é equação logarítmica. Vamos usar a técnica de substituição para transformar em uma equação quadrática em uma nova variável.

Passo 2

Fazendo a substituição
y = \log_{4}x,
a equação original fica
y^{2} - 2y - 3 = 0.

Passo 3

Para resolver
y^{2} - 2y - 3 = 0
calculamos o discriminante:
\Delta = (-2)^{2} - 4\cdot1\cdot(-3) = 4 + 12 = 16.
Assim, as raízes são
y = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2},
o que dá
y = 3 \quad\text{ou}\quad y = -1.

Passo 4

Voltando à variável x, temos dois casos:
  1. Se \log_{4}x = 3, então
x = 4^{3} = 64.
  1. Se \log_{4}x = -1, então
x = 4^{-1} = \tfrac{1}{4}.
Como o domínio de \log_{4}x exige x>0, ambas soluções são válidas.

Resposta

x = 64 ou x = \tfrac{1}{4}.

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