Resolva as seguintes equações pelo método de coeficientes indeterminados:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
ou seja, encontrar todas as funções
que satisfazem essa igualdade para todo
. Informações importantes dadas:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é um polinômio em
de grau : . - A incógnita é
e suas derivadas e .
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
Resolvendo essa quadrática:
portanto as raízes são
e
. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias (determinam a combinação linear das duas soluções independentes).
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados. Ideia geral do método (explicando passo a passo):
- Quando o termo não-homogêneo é um polinômio em
de grau , uma tentativa natural é procurar como um polinômio de mesmo grau :
onde
são coeficientes desconhecidos que vamos determinar.
- Antes de aceitar essa escolha, é preciso verificar se algum termo desse polinômio coincide com soluções da homogênea (por exemplo, se
estivesse na homogênea). Aqui as soluções homogêneas são exponenciais e , que não são polinômios, então não há conflito. Logo a tentativa polinomial acima é adequada.
Passo 4
Calculemos as derivadas de
:
Expliquei:
são constantes desconhecidas; derivando termo a termo usa-se a regra do poder:
.
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Agora desenvolvemos e agrupamos por potências de
. Primeiro expandindo os termos:
Agrupando por potências:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Portanto
Passo 6
Queremos que a expressão acima seja igual ao lado direito
. Ou seja, para todo
,
Igualando coeficientes de potências correspondentes obtemos o sistema linear para
:
- Para
: . - Para
: . - Constante:
.
Passo 7
Resolvendo o sistema passo a passo:
Da primeira equação:
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Substituindo
e
na terceira equação:
Passo 8
Portanto a solução particular encontrada é
Podemos fazer uma verificação rápida: substituindo estes
na expressão do Passo 5 obtém-se exatamente
, isto é o lado direito; logo a solução particular está correta.
Passo 9
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se fornecidas).