Resolva as seguintes equações pelo método de coeficientes indeterminados:
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=-2 t+4 t^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y^{\prime\prime}-y^{\prime}-2y=-2t+4t^{2},
ou seja, encontrar todas as funções y(t) que satisfazem essa igualdade para todo t. Informações importantes dadas:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é um polinômio em t de grau 2: -2t+4t^{2}.
  • A incógnita é y(t) e suas derivadas y'(t) e y''(t).

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y^{\prime\prime}-y^{\prime}-2y=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}-r-2=0.
Resolvendo essa quadrática:
r^{2}-r-2=(r-2)(r+1)=0,
portanto as raízes são r=2 e r=-1. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_{c}(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinam a combinação linear das duas soluções independentes).

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p}(t) da equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados. Ideia geral do método (explicando passo a passo):
  • Quando o termo não-homogêneo é um polinômio em t de grau n, uma tentativa natural é procurar y_{p}(t) como um polinômio de mesmo grau n:
y_{p}(t)=a t^{2}+b t+c,
onde a,b,c são coeficientes desconhecidos que vamos determinar.
  • Antes de aceitar essa escolha, é preciso verificar se algum termo desse polinômio coincide com soluções da homogênea (por exemplo, se e^{0t}=1 estivesse na homogênea). Aqui as soluções homogêneas são exponenciais e^{2t} e e^{-t}, que não são polinômios, então não há conflito. Logo a tentativa polinomial acima é adequada.

Passo 4

Calculemos as derivadas de y_{p}:
y_{p}(t)=a t^{2}+b t+c,
y_{p}^{\prime}(t)=2a t+b,
y_{p}^{\prime\prime}(t)=2a.
Expliquei: a,b,c são constantes desconhecidas; derivando termo a termo usa-se a regra do poder: \dfrac{d}{dt}(t^{n})=n t^{n-1}.

Passo 5

Substituímos y_{p}, y_{p}^{\prime} e y_{p}^{\prime\prime} na equação diferencial:
y_{p}^{\prime\prime}-y_{p}^{\prime}-2y_{p} = 2a - (2a t+b) - 2(at^{2}+bt+c).
Agora desenvolvemos e agrupamos por potências de t. Primeiro expandindo os termos:
2a - 2a t - b - 2a t^{2} - 2b t - 2c.
Agrupando por potências:
  • Coeficiente de t^{2}: -2a.
  • Coeficiente de t: -2a - 2b.
  • Termo constante: 2a - b - 2c.
Portanto
y_{p}^{\prime\prime}-y_{p}^{\prime}-2y_{p} = (-2a) t^{2} + (-2a-2b) t + (2a - b - 2c).

Passo 6

Queremos que a expressão acima seja igual ao lado direito -2t+4t^{2}. Ou seja, para todo t,
(-2a) t^{2} + (-2a-2b) t + (2a - b - 2c) = 4t^{2} -2t + 0.
Igualando coeficientes de potências correspondentes obtemos o sistema linear para a,b,c:
  • Para t^{2}: -2a = 4.
  • Para t: -2a - 2b = -2.
  • Constante: 2a - b - 2c = 0.

Passo 7

Resolvendo o sistema passo a passo:
Da primeira equação:
-2a = 4 \quad\Rightarrow\quad a = -2.
Substituindo a=-2 na segunda equação:
-2(-2) - 2b = -2 \quad\Rightarrow\quad 4 - 2b = -2 \quad\Rightarrow\quad -2b = -6 \quad\Rightarrow\quad b = 3.
Substituindo a=-2 e b=3 na terceira equação:
2(-2) - 3 - 2c = 0 \quad\Rightarrow\quad -4 - 3 - 2c = 0 \quad\Rightarrow\quad -7 - 2c = 0 \quad\Rightarrow\quad -2c = 7 \quad\Rightarrow\quad c = -\dfrac{7}{2}.

Passo 8

Portanto a solução particular encontrada é
y_{p}(t) = -2t^{2} + 3t - \dfrac{7}{2}.
Podemos fazer uma verificação rápida: substituindo estes a,b,c na expressão do Passo 5 obtém-se exatamente 4t^{2}-2t, isto é o lado direito; logo a solução particular está correta.

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
y(t)=y_{c}(t)+y_{p}(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-t}-2t^{2}+3t-\dfrac{7}{2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se fornecidas).

Resposta

y(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-t}-2t^{2}+3t-\dfrac{7}{2}

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