Resolva as seguintes equações pelo método de coeficientes indeterminados:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Informações importantes dadas:
- É uma EDO linear não-homogênea de segunda ordem com termo fonte
. - Queremos a solução geral
, que é a soma da solução complementar (da homogênea) e de uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero):
Método: tentar uma solução exponencial
. Substituindo nessa forma obtém-se a equação característica (porque derivadas de
são múltiplos de
, então podemos dividir por
):
Agora resolvemos a equação quadrática. Podemos fatorar:
portanto as raízes são
e
. Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea (solução complementar) é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora usamos o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular
da equação completa. Ideia do método (explicação didática):
- Quando o termo não-homogêneo é uma combinação de funções simples (como polinômios, exponenciais, senos e cossenos, ou produtos desses), supõe-se uma forma de solução particular parecida, mas com coeficientes desconhecidos que determinaremos.
- Se a forma escolhida coincide com uma solução da homogênea (resonância), é preciso multiplicar por uma potência de
suficiente para “elevar” a suposição fora do espaço homogêneo.
No nosso caso o termo é. A escolha natural é tentar
com
constante a determinar. Antes de substituir, fazemos o teste de ressonância: verificar se
é raiz da equação característica. As raízes da homogênea são
e
; como
não é raiz, não há ressonância e a forma
é adequada (não precisamos multiplicar por
).
Passo 4
Calcular as derivadas de
e substituir na equação para achar
.
Derivadas:
Derivadas:
Substituindo em
:
Fatorando
(sempre não nulo), obtemos:
Dividindo por
segue
Portanto
Passo 5
Assim a solução particular é
A solução geral da equação completa é a soma da complementar com a particular:
onde
e
são constantes determinadas por condições iniciais, caso sejam fornecidas.