Resolva as seguintes equações pelo método de coeficientes indeterminados:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=3 e^{2 t}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}-3y=3e^{2t}.
Informações importantes dadas:
  • É uma EDO linear não-homogênea de segunda ordem com termo fonte 3e^{2t}.
  • Queremos a solução geral y(t), que é a soma da solução complementar (da homogênea) e de uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero):
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}-3y=0.
Método: tentar uma solução exponencial \displaystyle y=e^{rt}. Substituindo nessa forma obtém-se a equação característica (porque derivadas de e^{rt} são múltiplos de e^{rt}, então podemos dividir por e^{rt}\neq0):
r^{2}-2r-3=0.
Agora resolvemos a equação quadrática. Podemos fatorar:
r^{2}-2r-3=(r-3)(r+1)=0,
portanto as raízes são r_{1}=3 e r_{2}=-1. Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea (solução complementar) é
y_{c}(t)=C_{1}e^{3t}+C_{2}e^{-t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora usamos o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular y_{p}(t) da equação completa. Ideia do método (explicação didática):
  • Quando o termo não-homogêneo é uma combinação de funções simples (como polinômios, exponenciais, senos e cossenos, ou produtos desses), supõe-se uma forma de solução particular parecida, mas com coeficientes desconhecidos que determinaremos.
  • Se a forma escolhida coincide com uma solução da homogênea (resonância), é preciso multiplicar por uma potência de t suficiente para “elevar” a suposição fora do espaço homogêneo.
    No nosso caso o termo é 3e^{2t}. A escolha natural é tentar
y_{p}(t)=A e^{2t},
com A constante a determinar. Antes de substituir, fazemos o teste de ressonância: verificar se r=2 é raiz da equação característica. As raízes da homogênea são 3 e -1; como 2 não é raiz, não há ressonância e a forma A e^{2t} é adequada (não precisamos multiplicar por t).

Passo 4

Calcular as derivadas de y_{p} e substituir na equação para achar A.
Derivadas:
y_{p}=A e^{2t},\qquad y_{p}^{\prime}=2A e^{2t},\qquad y_{p}^{\prime\prime}=4A e^{2t}.
Substituindo em \;y^{\prime\prime}-2y^{\prime}-3y=3e^{2t}\;:
4A e^{2t}-2(2A e^{2t})-3(A e^{2t})=3e^{2t}.
Fatorando e^{2t} (sempre não nulo), obtemos:
(4A-4A-3A)e^{2t}=3e^{2t}\quad\Longrightarrow\quad (-3A)e^{2t}=3e^{2t}.
Dividindo por e^{2t} segue
-3A=3.
Portanto
A=-1.

Passo 5

Assim a solução particular é
y_{p}(t)=-e^{2t}.
A solução geral da equação completa é a soma da complementar com a particular:
y(t)=y_{c}(t)+y_{p}(t)=C_{1}e^{3t}+C_{2}e^{-t}-e^{2t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes determinadas por condições iniciais, caso sejam fornecidas.

Resposta

y(t)=C_{1}e^{3t}+C_{2}e^{-t}-e^{2t}

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