Resolva as seguintes equações nao homogenias
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação não homogênea
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método de coeficientes a determinar, isto é: (i) achar a solução complementar
da equação homogênea; (ii) propor um candidato
para a particular; (iii) determinar os coeficientes e construir a solução geral
.
Passo 2
A equação homogênea é
A equação característica é
cuja solução é
Logo, a solução complementar é
Passo 3
O termo não homogêneo é
. Como
já aparece em
(raiz simples
), multiplicamos o ansatz polinomial por
. Assim propomos
Passo 4
Calculamos as derivadas de
e substituímos na equação:
Substituindo em
e fatorando
, obtemos um polinômio em
. Igualando-o a
, chega-se ao sistema para
.
Passo 5
Do cálculo (omito passo a passo algébrico) chega-se a
Portanto
Passo 6
A solução geral da equação não homogênea é