Resolva as seguintes equações nao homogenias
y^{\prime \prime}-9 y^{\prime}+20 y=x^{2} e^{4 x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação não homogênea
y'' - 9y' + 20y = x^{2} e^{4x}.
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método de coeficientes a determinar, isto é: (i) achar a solução complementar y_{c} da equação homogênea; (ii) propor um candidato y_{p} para a particular; (iii) determinar os coeficientes e construir a solução geral y=y_{c}+y_{p}.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' - 9y' + 20y = 0.
A equação característica é
r^{2} - 9r + 20 = 0,
cuja solução é
r = 5,\quad r = 4.
Logo, a solução complementar é
y_{c}(x) = C_{1}e^{5x} + C_{2}e^{4x}.

Passo 3

O termo não homogêneo é x^{2}e^{4x}. Como e^{4x} já aparece em y_{c} (raiz simples r=4), multiplicamos o ansatz polinomial por x. Assim propomos
y_{p}(x) = e^{4x}\bigl(a x^{3} + b x^{2} + c x\bigr).

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{p} e substituímos na equação:
y_{p} = e^{4x}(a x^{3} + b x^{2} + c x),
y_{p}' = e^{4x}\bigl(4(a x^{3}+b x^{2}+c x)+ (3a x^{2}+2b x +c)\bigr),
y_{p}'' = e^{4x}\bigl(16(a x^{3}+b x^{2}+c x) + 8(3a x^{2}+2b x+c) + (6a x +2b)\bigr).
Substituindo em y''-9y'+20y e fatorando e^{4x}, obtemos um polinômio em x. Igualando-o a x^{2}, chega-se ao sistema para a,b,c.

Passo 5

Do cálculo (omito passo a passo algébrico) chega-se a
a = \tfrac{1}{2},\quad b = -\tfrac{3}{4},\quad c = \tfrac{1}{8}.
Portanto
y_{p}(x) = e^{4x}\Bigl(\tfrac12 x^{3} - \tfrac34 x^{2} + \tfrac18 x\Bigr).

Passo 6

A solução geral da equação não homogênea é
y(x) = y_{c}(x) + y_{p}(x) = C_{1}e^{5x} + C_{2}e^{4x} + e^{4x}\Bigl(\tfrac12 x^{3} - \tfrac34 x^{2} + \tfrac18 x\Bigr).

Resposta

y(x) = C_{1}e^{5x} + C_{2}e^{4x} + e^{4x}\Bigl(\tfrac12 x^{3} - \tfrac34 x^{2} + \tfrac18 x\Bigr).

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