Resolva as seguintes equações nao homogenias
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+8 y=3 x^{2}+2 x+1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo polinomial
y'' - 6y' + 8y = 3x^2 + 2x + 1.
O conteúdo envolve achar a solução geral como soma da solução homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada
y'' - 6y' + 8y = 0.
A equação característica é
r^2 - 6r + 8 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (r-2)(r-4)=0,
cujas raízes são r=2 e r=4. Logo a solução homogênea é
y_h = C_1 e^{2x} + C_2 e^{4x}.

Passo 3

Como o termo não homogêneo 3x^2+2x+1 é um polinômio de grau 2 e 0 não é raiz da característica, tomamos o ansatz
y_p = Ax^2 + Bx + C.
Então
y_p' = 2Ax + B,
y_p'' = 2A.

Passo 4

Substituindo y_p, y_p' e y_p'' na equação original, obtemos
2A - 6(2Ax + B) + 8(Ax^2 + Bx + C) =8A\,x^2 +(-12A+8B)\,x + (2A -6B +8C).
Isso deve ser igual a 3x^2 + 2x + 1.

Passo 5

Igualando coeficientes dos polinômios em x:
8A = 3,\quad -12A + 8B = 2,\quad 2A - 6B + 8C = 1.
Das três equações segue
A = \tfrac{3}{8},\quad B = \tfrac{13}{16},\quad C = \tfrac{41}{64}.

Passo 6

A solução particular fica
y_p = \tfrac{3}{8}x^2 + \tfrac{13}{16}x + \tfrac{41}{64}.
Portanto a solução geral da equação é
y = y_h + y_p = C_1 e^{2x} + C_2 e^{4x} + \tfrac{3}{8}x^2 + \tfrac{13}{16}x + \tfrac{41}{64}.

Resposta

y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{4x} + \tfrac{3}{8}x^2 + \tfrac{13}{16}x + \tfrac{41}{64}.

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