Nós temos a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y'' - 4y' + 8y = e^{2x} + \sin 2x.
O plano é: (i) achar a solução geral da homogênea associada, (ii) encontrar uma solução particular para e^{2x}, (iii) outra para \sin2x, e (iv) somar tudo para obter a solução geral da não homogênea.
Passo 2
A equação homogênea é
y'' - 4y' + 8y = 0.
O polinômio característico é
r^2 - 4r + 8 = 0,
cuja solução é
r = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2} = 2 \pm 2i.
Logo a solução geral homogênea é
y_h(x) = e^{2x}\bigl(C_1\cos2x + C_2\sin2x\bigr).
Passo 3
Procuramos uma solução particular y_{p1} para o termo e^{2x}. Como e^{2x} não está na forma exata de e^{(2\pm2i)x}, usamos
Agora buscamos y_{p2}\) para o termo \(\sin2x\). Como \(\sin2x\) não coincide com a parte real de \(e^{(2\pm2i)x}\) (que tem fator \(e^{2x}\)), usamos o palpite
\[y_{p2}(x) = C\sin2x + D\cos2x.