Resolva as seguintes equações nao homogenias
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+8 y=e^{2 x}+\sin 2 x.

Passo 1

Nós temos a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y'' - 4y' + 8y = e^{2x} + \sin 2x.
O plano é: (i) achar a solução geral da homogênea associada, (ii) encontrar uma solução particular para e^{2x}, (iii) outra para \sin2x, e (iv) somar tudo para obter a solução geral da não homogênea.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' - 4y' + 8y = 0.
O polinômio característico é
r^2 - 4r + 8 = 0,
cuja solução é
r = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2} = 2 \pm 2i.
Logo a solução geral homogênea é
y_h(x) = e^{2x}\bigl(C_1\cos2x + C_2\sin2x\bigr).

Passo 3

Procuramos uma solução particular y_{p1} para o termo e^{2x}. Como e^{2x} não está na forma exata de e^{(2\pm2i)x}, usamos
y_{p1}(x) = A\,e^{2x}.
Então
y'_{p1} = 2A e^{2x}, \quad y''_{p1} = 4A e^{2x}.
Substituindo em y'' -4y' +8y:
4A e^{2x} -4\bigl(2A e^{2x}\bigr) +8\bigl(A e^{2x}\bigr) = (4A -8A +8A)e^{2x} =4A e^{2x}.
Queremos 4A e^{2x}=e^{2x}, logo
4A = 1 \;\Longrightarrow\; A = \tfrac14.
Portanto
y_{p1}(x) = \tfrac14 e^{2x}.

Passo 4

Agora buscamos y_{p2}\) para o termo \(\sin2x\). Como \(\sin2x\) não coincide com a parte real de \(e^{(2\pm2i)x}\) (que tem fator \(e^{2x}\)), usamos o palpite \[y_{p2}(x) = C\sin2x + D\cos2x.
Calculamos derivadas:
y'_{p2} = 2C\cos2x -2D\sin2x, \quad y''_{p2} = -4C\sin2x -4D\cos2x.
Substituindo em y'' -4y' +8y e agrupando senos e cossenos:
(-4C\sin2x -4D\cos2x) -4(2C\cos2x -2D\sin2x) +8(C\sin2x + D\cos2x)
= (4C + 8D)\sin2x +(-8C +4D)\cos2x.
Igualando ao lado direito \sin2x, obtemos o sistema
\begin{cases} 4C + 8D = 1,\\\\ -8C + 4D = 0. \end{cases}
Da segunda equação (4D = 8C\Rightarrow D=2C]. Substituindo na primeira:
4C + 8(2C) = 20C =1 \;\Longrightarrow\; C = \tfrac1{20}, \quad D = 2\cdot\tfrac1{20} = \tfrac1{10}.
Logo
y_{p2}(x) = \tfrac1{20}\sin2x + \tfrac1{10}\cos2x.

Passo 5

Somando tudo, a solução geral da não homogênea é
y(x) = y_h(x) + y_{p1}(x) + y_{p2}(x) = e^{2x}\bigl(C_1\cos2x + C_2\sin2x\bigr) + \tfrac14 e^{2x} + \tfrac1{20}\sin2x + \tfrac1{10}\cos2x.

Resposta

\boxed{ y(x) = e^{2x}\bigl(C_1\cos2x + C_2\sin2x\bigr) + \tfrac14 e^{2x} + \tfrac1{20}\sin2x + \tfrac1{10}\cos2x. }

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