Resolva as seguintes equações nao homogenias
y^{\prime \prime}-9 y=e^{3 x} \cos x.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear não homogênea de coeficientes constantes
y'' - 9y = e^{3x}\cos x
e pede a sua solução geral. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro encontramos a solução da parte homogênea e depois uma particular para todo o termo não homogêneo.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - 9y = 0.
A equação característica é
r^2 - 9 = 0\quad\Longrightarrow\quad r = 3,\;r = -3.
Logo a solução geral da homogênea é
y_c = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x}.

Passo 3

Como o termo não homogêneo é e^{3x}\cos x, tentamos uma solução particular da forma
y_p = e^{3x}\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p. Primeiro
y_p' = 3e^{3x}(A\cos x + B\sin x) + e^{3x}(-A\sin x + B\cos x) = e^{3x}\bigl((3A+B)\cos x + (3B - A)\sin x\bigr).
Em seguida
y_p'' = 3e^{3x}\bigl((3A+B)\cos x + (3B-A)\sin x\bigr) + e^{3x}\bigl(-(3A+B)\sin x + (3B-A)\cos x\bigr).
Reagrupando,
y_p'' = e^{3x}\bigl((8A+6B)\cos x + (8B-6A)\sin x\bigr).

Passo 5

Substituindo em y''-9y:
y_p'' -9y_p = e^{3x}\bigl((8A+6B)\cos x + (8B-6A)\sin x\bigr) -9e^{3x}\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr).
Isso dá
y_p''-9y_p = e^{3x}\bigl((-A+6B)\cos x + (-6A - B)\sin x\bigr)
e deve ser igual a e^{3x}\cos x. Logo devemos ter
\begin{cases} -A + 6B = 1,\\\\ -6A - B = 0. \end{cases}

Passo 6

Resolvendo -6A - B = 0 B = -6A. Substituindo em -A + 6B = 1 resulta
-A + 6(-6A) = 1 \quad\Longrightarrow\quad -37A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = -\tfrac{1}{37},
e então
B = -6\bigl(-\tfrac{1}{37}\bigr) = \tfrac{6}{37}.

Passo 7

A solução particular é
y_p = e^{3x}\Bigl(-\tfrac{1}{37}\cos x + \tfrac{6}{37}\sin x\Bigr).
Logo a solução geral da equação original é
y = y_c + y_p = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x} + \frac{e^{3x}}{37}\bigl(-\cos x + 6\sin x\bigr).

Resposta

y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x} + \frac{e^{3x}}{37}\bigl(-\cos x + 6\sin x\bigr).

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