Resolva as seguintes equações de ordem superior:
y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-y=0

Passo 1

Enunciado: resolver a equação diferencial linear de ordem superior não homogênea (na verdade homogênea) com coeficientes constantes
y^{\prime\prime\prime}-3y^{\prime\prime}+3y^{\prime}-y=0.
Informações dadas: a equação é homogênea (lado direito igual a 0), de ordem 3, com coeficientes constantes 1,\,-3,\,3,\,-1. Pedido: encontrar a solução geral y(x) (isto é, a família de todas as soluções).

Passo 2

Ideia padrão (explicando a ferramenta que vamos usar): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{rx}, porque derivadas de e^{rx} são múltiplas de e^{rx} e isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r. Essa equação algébrica chamamos de equação característica. Vou mostrar como isso funciona passo a passo.

Passo 3

Formamos a equação característica substituindo y=e^{rx} e suas derivadas na equação. Como
y'=r e^{rx},\qquad y''=r^2 e^{rx},\qquad y'''=r^3 e^{rx},
ao substituir obtemos
r^3 e^{rx}-3r^2 e^{rx}+3r e^{rx}-1\cdot e^{rx}=0.
Dividindo por e^{rx} (que nunca é zero) ficamos com a equação característica em r:
r^3-3r^2+3r-1=0.

Passo 4

Resolver a equação característica. Observando os coeficientes, essa é a expansão do binômio (r-1)^3. Para verificar, podemos fatorar diretamente:
r^3-3r^2+3r-1=(r-1)^3.
Logo a única raiz é r=1, com multiplicidade 3 (é um zero triplo).

Passo 5

O que significa multiplicidade 3 para a solução da equação diferencial? Regra importante: se r_0 é raiz da equação característica com multiplicidade m, então as m soluções linearmente independentes associadas são
e^{r_0 x},\quad x e^{r_0 x},\quad x^2 e^{r_0 x},\\ \dots,\\ x^{m-1} e^{r_0 x}.
Aqui r_0=1 e m=3, portanto as três soluções independentes são
e^{x},\quad x e^{x},\quad x^2 e^{x}.
A solução geral da equação diferencial é a combinação linear dessas soluções.

Passo 6

Para reforçar (uma demonstração alternativa e didática): fazemos a substituição y=u(x)e^{x}. Vou mostrar rapidamente por que isso transforma a equação numa equação simples para u. Calculando derivadas (usar regra do produto):
y'=u' e^{x}+u e^{x},\quad y''=u'' e^{x}+2u' e^{x}+u e^{x},
y'''=u''' e^{x}+3u'' e^{x}+3u' e^{x}+u e^{x}.
Substituindo na equação original e fatorando e^{x} aparece (os termos em u e u', u'' se cancelam), sobrando simplesmente
u'''(x)e^{x}=0 \quad\Rightarrow\quad u'''(x)=0.
Integrando três vezes obtemos um polinômio de grau até 2:
u(x)=\frac{A}{2}x^2+Bx+C,
onde A,B,C são constantes. Renomeando constantes arbitrárias, escrevemos
u(x)=C_3 x^2 + C_2 x + C_1.
Portanto
y(x)=u(x)e^{x}=\bigl(C_1 + C_2 x + C_3 x^2\bigr)e^{x},
que é exatamente a combinação linear de e^{x},\,x e^{x},\,x^2 e^{x}.

Passo 7

Conclusão e comentário final: a solução geral tem três constantes arbitrárias (esperado para ordem 3). As três soluções são linearmente independentes (por exemplo, pelo Wronskiano ou pelo procedimento acima). Portanto a família encontrada é completa.

Resposta

y(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}\bigr)e^{x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

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