Resolva as seguintes equações de ordem superior:
Passo 1
Enunciado: resolver a equação diferencial linear de ordem superior não homogênea (na verdade homogênea) com coeficientes constantes
Informações dadas: a equação é homogênea (lado direito igual a
), de ordem
, com coeficientes constantes
. Pedido: encontrar a solução geral
(isto é, a família de todas as soluções).
Passo 2
Ideia padrão (explicando a ferramenta que vamos usar): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
, porque derivadas de
são múltiplas de
e isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
. Essa equação algébrica chamamos de equação característica. Vou mostrar como isso funciona passo a passo.
Passo 3
Formamos a equação característica substituindo
e suas derivadas na equação. Como
ao substituir obtemos
Dividindo por
(que nunca é zero) ficamos com a equação característica em
:
Passo 4
Resolver a equação característica. Observando os coeficientes, essa é a expansão do binômio
. Para verificar, podemos fatorar diretamente:
Logo a única raiz é
, com multiplicidade
(é um zero triplo).
Passo 5
O que significa multiplicidade
para a solução da equação diferencial? Regra importante: se
é raiz da equação característica com multiplicidade
, então as
soluções linearmente independentes associadas são
Aqui
e
, portanto as três soluções independentes são
A solução geral da equação diferencial é a combinação linear dessas soluções.
Passo 6
Para reforçar (uma demonstração alternativa e didática): fazemos a substituição
. Vou mostrar rapidamente por que isso transforma a equação numa equação simples para
. Calculando derivadas (usar regra do produto):
Substituindo na equação original e fatorando
aparece (os termos em
e
,
se cancelam), sobrando simplesmente
Integrando três vezes obtemos um polinômio de grau até
:
onde
são constantes. Renomeando constantes arbitrárias, escrevemos
Portanto
que é exatamente a combinação linear de
.
Passo 7
Conclusão e comentário final: a solução geral tem três constantes arbitrárias (esperado para ordem
). As três soluções são linearmente independentes (por exemplo, pelo Wronskiano ou pelo procedimento acima). Portanto a família encontrada é completa.
Resposta
onde
são constantes arbitrárias.