Resolva as seguintes equações de ordem superior:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas e o que é pedido:
- É uma equação diferencial ordinária de ordem
. - É homogênea (lado direito igual a
) e com coeficientes constantes. - Precisamos encontrar a solução geral
, que deve conter quatro constantes arbitrárias (porque a ordem é ). - Não há condicionantes iniciais ou de contorno; quer-se a solução geral.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada passo a passo): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes a técnica mais direta é procurar soluções da forma
. Por que isso funciona?
- Suponha
. Então as derivadas são múltiplos de : , , etc. - Substituindo na equação,
aparece em todos os termos e pode ser fatorado; como para todo , sobra uma equação polinomial em , chamada equação característica. - As raízes
dessa equação indicam os expoentes das soluções . Se uma raiz é múltipla ou complexa, há regras específicas para gerar soluções linearmente independentes — eu explico isso quando aparecer.
Agora aplicamos isso: suponha
e substitua nas derivadas.
Passo 3
Formação e resolução da equação característica.
- Derivadas:
, , . - Substituindo na equação e dividindo por
obtemos a equação característica
- Fatorando
:
- Portanto as raízes são:
-
, com multiplicidade (porque do fator ). - As raízes do quadrático
. Usando a fórmula quadrática,
Essas são duas raízes complexas conjugadas e , cada uma de multiplicidade . -
Passo 4
Como obter as soluções reais independentes a partir das raízes (regras e explicação didática).
- Se
é raiz de multiplicidade , as soluções correspondentes são Regra geral: para raiz real de multiplicidade temos as soluções .
Aqui come obtemos e . - Para a dupla complexa
(com parte real e imag part ), as duas soluções complexas são e . Tomando partes real e imaginária (porque buscamos soluções reais), obtemos as duas soluções reais independentes Explicação curta: , então as partes real e imaginária geram e .
Passo 5
Montagem da solução geral e checagem rápida de independência.
- As quatro soluções independentes obtidas são
- A solução geral é a combinação linear dessas soluções com constantes arbitrárias
: - Breve justificativa de que isso é correto:
- Qualquer combinação linear dessas soluções satisfaz a equação porque cada solução corresponde a uma raiz da equação característica (as soluções associadas a
são anuladas pelo fator e as associadas a são anuladas pelo fator ). - Há exatamente quatro constantes arbitrárias, como esperado para uma EDO de ordem
.
- Qualquer combinação linear dessas soluções satisfaz a equação porque cada solução corresponde a uma raiz da equação característica (as soluções associadas a
- Dica prática para prova: ao ver um polinômio característico, sempre tente fatorar; multiplicidades dão fatores
nas soluções e raízes complexas dão e .