Resolva as seguintes equações de ordem superior:
y^{(4)}-2 y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y^{(4)}-2y^{\prime\prime\prime}+2y^{\prime\prime}=0.
Informações dadas e o que é pedido:
  • É uma equação diferencial ordinária de ordem 4.
  • É homogênea (lado direito igual a 0) e com coeficientes constantes.
  • Precisamos encontrar a solução geral y(x), que deve conter quatro constantes arbitrárias (porque a ordem é 4).
  • Não há condicionantes iniciais ou de contorno; quer-se a solução geral.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada passo a passo): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes a técnica mais direta é procurar soluções da forma y=e^{rx}. Por que isso funciona?
  • Suponha y=e^{rx}. Então as derivadas são múltiplos de e^{rx}: y'=r e^{rx}, y''=r^2 e^{rx}, etc.
  • Substituindo na equação, e^{rx} aparece em todos os termos e pode ser fatorado; como e^{rx}\neq 0 para todo x, sobra uma equação polinomial em r, chamada equação característica.
  • As raízes r dessa equação indicam os expoentes das soluções e^{rx}. Se uma raiz é múltipla ou complexa, há regras específicas para gerar soluções linearmente independentes — eu explico isso quando aparecer.
Agora aplicamos isso: suponha y=e^{rx} e substitua nas derivadas.

Passo 3

Formação e resolução da equação característica.
  • Derivadas: y^{(4)}=r^4 e^{rx}, y^{\prime\prime\prime}=r^3 e^{rx}, y^{\prime\prime}=r^2 e^{rx}.
  • Substituindo na equação e dividindo por e^{rx} obtemos a equação característica
r^4-2r^3+2r^2=0.
  • Fatorando r^2:
r^2\bigl(r^2-2r+2\bigr)=0.
  • Portanto as raízes são:
    • r=0, com multiplicidade 2 (porque do fator r^2).
    • As raízes do quadrático r^2-2r+2=0. Usando a fórmula quadrática,
    r=\frac{2\pm\sqrt{(-4)}}{2}=1\pm i.Essas são duas raízes complexas conjugadas r=1+i e r=1-i, cada uma de multiplicidade 1.

Passo 4

Como obter as soluções reais independentes a partir das raízes (regras e explicação didática).
  • Se r=0 é raiz de multiplicidade 2, as soluções correspondentes são e^{0\cdot x}=1\quad\text{e}\quad x e^{0\cdot x}=x.Regra geral: para raiz real r_0 de multiplicidade m temos as soluções e^{r_0 x},\, x e^{r_0 x},\, x^2 e^{r_0 x},\dots,x^{m-1} e^{r_0 x}.
    Aqui com r_0=0 e m=2 obtemos 1 e x.
  • Para a dupla complexa r=1\pm i (com parte real a=1 e imag part b=1), as duas soluções complexas são e^{(1+i)x} e e^{(1-i)x}. Tomando partes real e imaginária (porque buscamos soluções reais), obtemos as duas soluções reais independentes e^{x}\cos x\quad\text{e}\quad e^{x}\sin x.Explicação curta: e^{(1+i)x}=e^{x}(\cos x + i\sin x), então as partes real e imaginária geram e^{x}\cos x e e^{x}\sin x.

Passo 5

Montagem da solução geral e checagem rápida de independência.
  • As quatro soluções independentes obtidas são 1,\quad x,\quad e^{x}\cos x,\quad e^{x}\sin x.
  • A solução geral é a combinação linear dessas soluções com constantes arbitrárias C_1,C_2,C_3,C_4: y(x)=C_1\cdot 1 + C_2\cdot x + C_3 e^{x}\cos x + C_4 e^{x}\sin x.
  • Breve justificativa de que isso é correto:
    • Qualquer combinação linear dessas soluções satisfaz a equação porque cada solução corresponde a uma raiz da equação característica (as soluções associadas a r=0 são anuladas pelo fator r^2 e as associadas a r=1\pm i são anuladas pelo fator r^2-2r+2).
    • Há exatamente quatro constantes arbitrárias, como esperado para uma EDO de ordem 4.
  • Dica prática para prova: ao ver um polinômio característico, sempre tente fatorar; multiplicidades dão fatores x^k nas soluções e raízes complexas dão e^{ax}\cos(bx) e e^{ax}\sin(bx).

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}e^{x}\cos x+C_{4}e^{x}\sin x

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